Caso04_MedidasDeDispersion
Miguel Angel Ramos Soto
2023-02-15
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(22041183)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 20 56 39 39 57 24 19 54 24 22 39 26 48 23 20 53 57 30 55 54 45 24 24 22 26
## [26] 57 20 59 48 28 31 39 19 37 39 50 51 33 40 39 37 54 54 36 60 32 19 57 26 30
## [51] 34 57 33 52 60 40 26 22 58 28 60 49 25 57 50 50 37 55 28 47 28 42 24 38 51
## [76] 51 23 39 49 26 20 37 43 48 39 32 33 48 28 22 20 58 54 54 50 42 55 25 35 47
## [101] 49 42 37 30 57 59 51 30 28 38 21 58 48 36 54 57 34 22 21 38 19 43 18 21 33
## [126] 30 20 22 42 44 52 55 40 48 56 38 38 41 40 20 21 51 40 46 37 35 39 47 37 36
## [151] 37 44 44 19 58 53 55 28 41 42 49 43 41 55 42 21 20 55 60 29 57 46 39 21 18
## [176] 22 38 56 53 58 57 37 22 25 22 48 53 45 29 52 47 36 34 35 52 42 45 53 47 374.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 30 0.15 15.0 30 15.0
## [22.57,27.33) 15 0.07 7.5 45 22.5
## [27.33,32.08) 17 0.09 8.5 62 31.0
## [32.08,36.83) 14 0.07 7.0 76 38.0
## [36.83,41.59) 34 0.17 17.0 110 55.0
## [41.59,46.34) 18 0.09 9.0 128 64.0
## [46.34,51.09) 25 0.12 12.5 153 76.5
## [51.09,55.85) 23 0.12 11.5 176 88.0
## [55.85,60.6) 24 0.12 12.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 15 17 17 21 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28
## [51] 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [76] 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31
## [101] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33
## [126] 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
## [151] 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37
## [176] 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 40 40 40 41 41 41 42 43 44 464.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
tabla.edades2 <- fdt(x = edades2, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [14.85,18.362) 3 0.01 1.5 3 1.5
## [18.362,21.874) 5 0.03 2.5 8 4.0
## [21.874,25.387) 24 0.12 12.0 32 16.0
## [25.387,28.899) 26 0.13 13.0 58 29.0
## [28.899,32.411) 66 0.33 33.0 124 62.0
## [32.411,35.923) 38 0.19 19.0 162 81.0
## [35.923,39.436) 28 0.14 14.0 190 95.0
## [39.436,42.948) 7 0.04 3.5 197 98.5
## [42.948,46.46) 3 0.01 1.5 200 100.04.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.525## [1] 30.894.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 20 39.525 -19.525 381.225625
## 2 56 39.525 16.475 271.425625
## 3 39 39.525 -0.525 0.275625
## 4 39 39.525 -0.525 0.275625
## 5 57 39.525 17.475 305.375625
## 6 24 39.525 -15.525 241.025625
## 7 19 39.525 -20.525 421.275625
## 8 54 39.525 14.475 209.525625
## 9 24 39.525 -15.525 241.025625
## 10 22 39.525 -17.525 307.125625
## 11 39 39.525 -0.525 0.275625
## 12 26 39.525 -13.525 182.925625
## 13 48 39.525 8.475 71.825625
## 14 23 39.525 -16.525 273.075625
## 15 20 39.525 -19.525 381.225625
## 16 53 39.525 13.475 181.575625
## 17 57 39.525 17.475 305.375625
## 18 30 39.525 -9.525 90.725625
## 19 55 39.525 15.475 239.475625
## 20 54 39.525 14.475 209.525625
## 21 45 39.525 5.475 29.975625
## 22 24 39.525 -15.525 241.025625
## 23 24 39.525 -15.525 241.025625
## 24 22 39.525 -17.525 307.125625
## 25 26 39.525 -13.525 182.925625
## 26 57 39.525 17.475 305.375625
## 27 20 39.525 -19.525 381.225625
## 28 59 39.525 19.475 379.275625
## 29 48 39.525 8.475 71.825625
## 30 28 39.525 -11.525 132.825625
## 31 31 39.525 -8.525 72.675625
## 32 39 39.525 -0.525 0.275625
## 33 19 39.525 -20.525 421.275625
## 34 37 39.525 -2.525 6.375625
## 35 39 39.525 -0.525 0.275625
## 36 50 39.525 10.475 109.725625
## 37 51 39.525 11.475 131.675625
## 38 33 39.525 -6.525 42.575625
## 39 40 39.525 0.475 0.225625
## 40 39 39.525 -0.525 0.275625
## 41 37 39.525 -2.525 6.375625
## 42 54 39.525 14.475 209.525625
## 43 54 39.525 14.475 209.525625
## 44 36 39.525 -3.525 12.425625
## 45 60 39.525 20.475 419.225625
## 46 32 39.525 -7.525 56.625625
## 47 19 39.525 -20.525 421.275625
## 48 57 39.525 17.475 305.375625
## 49 26 39.525 -13.525 182.925625
## 50 30 39.525 -9.525 90.725625
## 51 34 39.525 -5.525 30.525625
## 52 57 39.525 17.475 305.375625
## 53 33 39.525 -6.525 42.575625
## 54 52 39.525 12.475 155.625625
## 55 60 39.525 20.475 419.225625
## 56 40 39.525 0.475 0.225625
## 57 26 39.525 -13.525 182.925625
## 58 22 39.525 -17.525 307.125625
## 59 58 39.525 18.475 341.325625
## 60 28 39.525 -11.525 132.825625
## 61 60 39.525 20.475 419.225625
## 62 49 39.525 9.475 89.775625
## 63 25 39.525 -14.525 210.975625
## 64 57 39.525 17.475 305.375625
## 65 50 39.525 10.475 109.725625
## 66 50 39.525 10.475 109.725625
## 67 37 39.525 -2.525 6.375625
## 68 55 39.525 15.475 239.475625
## 69 28 39.525 -11.525 132.825625
## 70 47 39.525 7.475 55.875625
## 71 28 39.525 -11.525 132.825625
## 72 42 39.525 2.475 6.125625
## 73 24 39.525 -15.525 241.025625
## 74 38 39.525 -1.525 2.325625
## 75 51 39.525 11.475 131.675625
## 76 51 39.525 11.475 131.675625
## 77 23 39.525 -16.525 273.075625
## 78 39 39.525 -0.525 0.275625
## 79 49 39.525 9.475 89.775625
## 80 26 39.525 -13.525 182.925625
## 81 20 39.525 -19.525 381.225625
## 82 37 39.525 -2.525 6.375625
## 83 43 39.525 3.475 12.075625
## 84 48 39.525 8.475 71.825625
## 85 39 39.525 -0.525 0.275625
## 86 32 39.525 -7.525 56.625625
## 87 33 39.525 -6.525 42.575625
## 88 48 39.525 8.475 71.825625
## 89 28 39.525 -11.525 132.825625
## 90 22 39.525 -17.525 307.125625
## 91 20 39.525 -19.525 381.225625
## 92 58 39.525 18.475 341.325625
## 93 54 39.525 14.475 209.525625
## 94 54 39.525 14.475 209.525625
## 95 50 39.525 10.475 109.725625
## 96 42 39.525 2.475 6.125625
## 97 55 39.525 15.475 239.475625
## 98 25 39.525 -14.525 210.975625
## 99 35 39.525 -4.525 20.475625
## 100 47 39.525 7.475 55.875625
## 101 49 39.525 9.475 89.775625
## 102 42 39.525 2.475 6.125625
## 103 37 39.525 -2.525 6.375625
## 104 30 39.525 -9.525 90.725625
## 105 57 39.525 17.475 305.375625
## 106 59 39.525 19.475 379.275625
## 107 51 39.525 11.475 131.675625
## 108 30 39.525 -9.525 90.725625
## 109 28 39.525 -11.525 132.825625
## 110 38 39.525 -1.525 2.325625
## 111 21 39.525 -18.525 343.175625
## 112 58 39.525 18.475 341.325625
## 113 48 39.525 8.475 71.825625
## 114 36 39.525 -3.525 12.425625
## 115 54 39.525 14.475 209.525625
## 116 57 39.525 17.475 305.375625
## 117 34 39.525 -5.525 30.525625
## 118 22 39.525 -17.525 307.125625
## 119 21 39.525 -18.525 343.175625
## 120 38 39.525 -1.525 2.325625
## 121 19 39.525 -20.525 421.275625
## 122 43 39.525 3.475 12.075625
## 123 18 39.525 -21.525 463.325625
## 124 21 39.525 -18.525 343.175625
## 125 33 39.525 -6.525 42.575625
## 126 30 39.525 -9.525 90.725625
## 127 20 39.525 -19.525 381.225625
## 128 22 39.525 -17.525 307.125625
## 129 42 39.525 2.475 6.125625
## 130 44 39.525 4.475 20.025625
## 131 52 39.525 12.475 155.625625
## 132 55 39.525 15.475 239.475625
## 133 40 39.525 0.475 0.225625
## 134 48 39.525 8.475 71.825625
## 135 56 39.525 16.475 271.425625
## 136 38 39.525 -1.525 2.325625
## 137 38 39.525 -1.525 2.325625
## 138 41 39.525 1.475 2.175625
## 139 40 39.525 0.475 0.225625
## 140 20 39.525 -19.525 381.225625
## 141 21 39.525 -18.525 343.175625
## 142 51 39.525 11.475 131.675625
## 143 40 39.525 0.475 0.225625
## 144 46 39.525 6.475 41.925625
## 145 37 39.525 -2.525 6.375625
## 146 35 39.525 -4.525 20.475625
## 147 39 39.525 -0.525 0.275625
## 148 47 39.525 7.475 55.875625
## 149 37 39.525 -2.525 6.375625
## 150 36 39.525 -3.525 12.425625
## 151 37 39.525 -2.525 6.375625
## 152 44 39.525 4.475 20.025625
## 153 44 39.525 4.475 20.025625
## 154 19 39.525 -20.525 421.275625
## 155 58 39.525 18.475 341.325625
## 156 53 39.525 13.475 181.575625
## 157 55 39.525 15.475 239.475625
## 158 28 39.525 -11.525 132.825625
## 159 41 39.525 1.475 2.175625
## 160 42 39.525 2.475 6.125625
## 161 49 39.525 9.475 89.775625
## 162 43 39.525 3.475 12.075625
## 163 41 39.525 1.475 2.175625
## 164 55 39.525 15.475 239.475625
## 165 42 39.525 2.475 6.125625
## 166 21 39.525 -18.525 343.175625
## 167 20 39.525 -19.525 381.225625
## 168 55 39.525 15.475 239.475625
## 169 60 39.525 20.475 419.225625
## 170 29 39.525 -10.525 110.775625
## 171 57 39.525 17.475 305.375625
## 172 46 39.525 6.475 41.925625
## 173 39 39.525 -0.525 0.275625
## 174 21 39.525 -18.525 343.175625
## 175 18 39.525 -21.525 463.325625
## 176 22 39.525 -17.525 307.125625
## 177 38 39.525 -1.525 2.325625
## 178 56 39.525 16.475 271.425625
## 179 53 39.525 13.475 181.575625
## 180 58 39.525 18.475 341.325625
## 181 57 39.525 17.475 305.375625
## 182 37 39.525 -2.525 6.375625
## 183 22 39.525 -17.525 307.125625
## 184 25 39.525 -14.525 210.975625
## 185 22 39.525 -17.525 307.125625
## 186 48 39.525 8.475 71.825625
## 187 53 39.525 13.475 181.575625
## 188 45 39.525 5.475 29.975625
## 189 29 39.525 -10.525 110.775625
## 190 52 39.525 12.475 155.625625
## 191 47 39.525 7.475 55.875625
## 192 36 39.525 -3.525 12.425625
## 193 34 39.525 -5.525 30.525625
## 194 35 39.525 -4.525 20.475625
## 195 52 39.525 12.475 155.625625
## 196 42 39.525 2.475 6.125625
## 197 45 39.525 5.475 29.975625
## 198 53 39.525 13.475 181.575625
## 199 47 39.525 7.475 55.875625
## 200 37 39.525 -2.525 6.375625Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 31691.88varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 159.2557Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 159.2557## [1] 28.17879desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.61965## [1] 5.308374.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3192828CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.17184755 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan categorías y frecuencias de casos para cada categoría, y permiten valores relativos y porcentuales de las frecuencias observadas.
Con respecto a los datos de edades1 existe un 17% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 28.89 y 32.41 que representan el 33.0%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 39.525, la desviación es de: 12.6196535.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.89, la desviación es de: 5.3083702.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3192828 y el coeficiente de variación de edades2 es de: 0.1718475
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 debido a sus valores de coeficiente de variación ligeramente más altos.
6 Bibliografía
Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Douglas C. Montgomery y George C. Runger. Limusa Wiley, 2002. Segunda edición.
URIEL, E. y PEIRÓ, A. (2000) Introducción al análisis de series temporales. Madrid: AC.
BERENSON Y LEVINE. Estadística Básica en Administración, Prentice Hall, segunda edición, 2001.
Mendenhall, R. Estadística para Administradores. Grupo Editorial Iberoamérica, segunda edición, 1990.