Caso 04. Medidas de dispersión
Juan Antonio González Ramos
2023-02-15
Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
Desarrollo
Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficosDatos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(22041141)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes. edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )edades1
Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 41 56 38 49 43 45 44 28 50 19 25 37 55 53 29 54 48 42 55 42 53 27 53 32 32
## [26] 32 27 38 26 21 29 22 34 47 33 47 28 48 23 37 19 27 36 43 30 52 54 58 36 58
## [51] 36 21 23 41 30 38 59 58 48 49 35 20 52 20 29 49 59 46 49 32 39 42 22 47 27
## [76] 30 31 54 18 58 18 26 43 39 52 36 46 41 21 59 52 29 32 45 46 33 46 31 43 45
## [101] 60 26 33 19 49 60 45 28 33 35 21 34 27 47 25 59 44 47 29 30 58 29 31 25 55
## [126] 26 58 38 41 18 57 44 32 57 40 44 54 35 32 47 35 60 56 39 20 25 60 55 20 31
## [151] 26 37 38 43 43 31 51 32 23 49 51 35 46 49 52 38 19 35 49 25 18 57 58 21 60
## [176] 52 31 30 29 55 19 53 37 44 34 27 39 57 60 23 21 36 50 46 27 60 33 39 24 34Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 21 0.10 10.5 21 10.5
## [22.57,27.33) 22 0.11 11.0 43 21.5
## [27.33,32.08) 29 0.14 14.5 72 36.0
## [32.08,36.83) 20 0.10 10.0 92 46.0
## [36.83,41.59) 20 0.10 10.0 112 56.0
## [41.59,46.34) 24 0.12 12.0 136 68.0
## [46.34,51.09) 21 0.10 10.5 157 78.5
## [51.09,55.85) 19 0.10 9.5 176 88.0
## [55.85,60.6) 24 0.12 12.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
edades2
Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 16 18 18 19 19 19 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24
## [26] 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29
## [76] 29 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32
## [101] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [126] 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
## [151] 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37
## [176] 37 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 40 41 41 41 42 44Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.095## [1] 30.805Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 41 39.095 1.905 3.629025
## 2 56 39.095 16.905 285.779025
## 3 38 39.095 -1.095 1.199025
## 4 49 39.095 9.905 98.109025
## 5 43 39.095 3.905 15.249025
## 6 45 39.095 5.905 34.869025
## 7 44 39.095 4.905 24.059025
## 8 28 39.095 -11.095 123.099025
## 9 50 39.095 10.905 118.919025
## 10 19 39.095 -20.095 403.809025
## 11 25 39.095 -14.095 198.669025
## 12 37 39.095 -2.095 4.389025
## 13 55 39.095 15.905 252.969025
## 14 53 39.095 13.905 193.349025
## 15 29 39.095 -10.095 101.909025
## 16 54 39.095 14.905 222.159025
## 17 48 39.095 8.905 79.299025
## 18 42 39.095 2.905 8.439025
## 19 55 39.095 15.905 252.969025
## 20 42 39.095 2.905 8.439025
## 21 53 39.095 13.905 193.349025
## 22 27 39.095 -12.095 146.289025
## 23 53 39.095 13.905 193.349025
## 24 32 39.095 -7.095 50.339025
## 25 32 39.095 -7.095 50.339025
## 26 32 39.095 -7.095 50.339025
## 27 27 39.095 -12.095 146.289025
## 28 38 39.095 -1.095 1.199025
## 29 26 39.095 -13.095 171.479025
## 30 21 39.095 -18.095 327.429025
## 31 29 39.095 -10.095 101.909025
## 32 22 39.095 -17.095 292.239025
## 33 34 39.095 -5.095 25.959025
## 34 47 39.095 7.905 62.489025
## 35 33 39.095 -6.095 37.149025
## 36 47 39.095 7.905 62.489025
## 37 28 39.095 -11.095 123.099025
## 38 48 39.095 8.905 79.299025
## 39 23 39.095 -16.095 259.049025
## 40 37 39.095 -2.095 4.389025
## 41 19 39.095 -20.095 403.809025
## 42 27 39.095 -12.095 146.289025
## 43 36 39.095 -3.095 9.579025
## 44 43 39.095 3.905 15.249025
## 45 30 39.095 -9.095 82.719025
## 46 52 39.095 12.905 166.539025
## 47 54 39.095 14.905 222.159025
## 48 58 39.095 18.905 357.399025
## 49 36 39.095 -3.095 9.579025
## 50 58 39.095 18.905 357.399025
## 51 36 39.095 -3.095 9.579025
## 52 21 39.095 -18.095 327.429025
## 53 23 39.095 -16.095 259.049025
## 54 41 39.095 1.905 3.629025
## 55 30 39.095 -9.095 82.719025
## 56 38 39.095 -1.095 1.199025
## 57 59 39.095 19.905 396.209025
## 58 58 39.095 18.905 357.399025
## 59 48 39.095 8.905 79.299025
## 60 49 39.095 9.905 98.109025
## 61 35 39.095 -4.095 16.769025
## 62 20 39.095 -19.095 364.619025
## 63 52 39.095 12.905 166.539025
## 64 20 39.095 -19.095 364.619025
## 65 29 39.095 -10.095 101.909025
## 66 49 39.095 9.905 98.109025
## 67 59 39.095 19.905 396.209025
## 68 46 39.095 6.905 47.679025
## 69 49 39.095 9.905 98.109025
## 70 32 39.095 -7.095 50.339025
## 71 39 39.095 -0.095 0.009025
## 72 42 39.095 2.905 8.439025
## 73 22 39.095 -17.095 292.239025
## 74 47 39.095 7.905 62.489025
## 75 27 39.095 -12.095 146.289025
## 76 30 39.095 -9.095 82.719025
## 77 31 39.095 -8.095 65.529025
## 78 54 39.095 14.905 222.159025
## 79 18 39.095 -21.095 444.999025
## 80 58 39.095 18.905 357.399025
## 81 18 39.095 -21.095 444.999025
## 82 26 39.095 -13.095 171.479025
## 83 43 39.095 3.905 15.249025
## 84 39 39.095 -0.095 0.009025
## 85 52 39.095 12.905 166.539025
## 86 36 39.095 -3.095 9.579025
## 87 46 39.095 6.905 47.679025
## 88 41 39.095 1.905 3.629025
## 89 21 39.095 -18.095 327.429025
## 90 59 39.095 19.905 396.209025
## 91 52 39.095 12.905 166.539025
## 92 29 39.095 -10.095 101.909025
## 93 32 39.095 -7.095 50.339025
## 94 45 39.095 5.905 34.869025
## 95 46 39.095 6.905 47.679025
## 96 33 39.095 -6.095 37.149025
## 97 46 39.095 6.905 47.679025
## 98 31 39.095 -8.095 65.529025
## 99 43 39.095 3.905 15.249025
## 100 45 39.095 5.905 34.869025
## 101 60 39.095 20.905 437.019025
## 102 26 39.095 -13.095 171.479025
## 103 33 39.095 -6.095 37.149025
## 104 19 39.095 -20.095 403.809025
## 105 49 39.095 9.905 98.109025
## 106 60 39.095 20.905 437.019025
## 107 45 39.095 5.905 34.869025
## 108 28 39.095 -11.095 123.099025
## 109 33 39.095 -6.095 37.149025
## 110 35 39.095 -4.095 16.769025
## 111 21 39.095 -18.095 327.429025
## 112 34 39.095 -5.095 25.959025
## 113 27 39.095 -12.095 146.289025
## 114 47 39.095 7.905 62.489025
## 115 25 39.095 -14.095 198.669025
## 116 59 39.095 19.905 396.209025
## 117 44 39.095 4.905 24.059025
## 118 47 39.095 7.905 62.489025
## 119 29 39.095 -10.095 101.909025
## 120 30 39.095 -9.095 82.719025
## 121 58 39.095 18.905 357.399025
## 122 29 39.095 -10.095 101.909025
## 123 31 39.095 -8.095 65.529025
## 124 25 39.095 -14.095 198.669025
## 125 55 39.095 15.905 252.969025
## 126 26 39.095 -13.095 171.479025
## 127 58 39.095 18.905 357.399025
## 128 38 39.095 -1.095 1.199025
## 129 41 39.095 1.905 3.629025
## 130 18 39.095 -21.095 444.999025
## 131 57 39.095 17.905 320.589025
## 132 44 39.095 4.905 24.059025
## 133 32 39.095 -7.095 50.339025
## 134 57 39.095 17.905 320.589025
## 135 40 39.095 0.905 0.819025
## 136 44 39.095 4.905 24.059025
## 137 54 39.095 14.905 222.159025
## 138 35 39.095 -4.095 16.769025
## 139 32 39.095 -7.095 50.339025
## 140 47 39.095 7.905 62.489025
## 141 35 39.095 -4.095 16.769025
## 142 60 39.095 20.905 437.019025
## 143 56 39.095 16.905 285.779025
## 144 39 39.095 -0.095 0.009025
## 145 20 39.095 -19.095 364.619025
## 146 25 39.095 -14.095 198.669025
## 147 60 39.095 20.905 437.019025
## 148 55 39.095 15.905 252.969025
## 149 20 39.095 -19.095 364.619025
## 150 31 39.095 -8.095 65.529025
## 151 26 39.095 -13.095 171.479025
## 152 37 39.095 -2.095 4.389025
## 153 38 39.095 -1.095 1.199025
## 154 43 39.095 3.905 15.249025
## 155 43 39.095 3.905 15.249025
## 156 31 39.095 -8.095 65.529025
## 157 51 39.095 11.905 141.729025
## 158 32 39.095 -7.095 50.339025
## 159 23 39.095 -16.095 259.049025
## 160 49 39.095 9.905 98.109025
## 161 51 39.095 11.905 141.729025
## 162 35 39.095 -4.095 16.769025
## 163 46 39.095 6.905 47.679025
## 164 49 39.095 9.905 98.109025
## 165 52 39.095 12.905 166.539025
## 166 38 39.095 -1.095 1.199025
## 167 19 39.095 -20.095 403.809025
## 168 35 39.095 -4.095 16.769025
## 169 49 39.095 9.905 98.109025
## 170 25 39.095 -14.095 198.669025
## 171 18 39.095 -21.095 444.999025
## 172 57 39.095 17.905 320.589025
## 173 58 39.095 18.905 357.399025
## 174 21 39.095 -18.095 327.429025
## 175 60 39.095 20.905 437.019025
## 176 52 39.095 12.905 166.539025
## 177 31 39.095 -8.095 65.529025
## 178 30 39.095 -9.095 82.719025
## 179 29 39.095 -10.095 101.909025
## 180 55 39.095 15.905 252.969025
## 181 19 39.095 -20.095 403.809025
## 182 53 39.095 13.905 193.349025
## 183 37 39.095 -2.095 4.389025
## 184 44 39.095 4.905 24.059025
## 185 34 39.095 -5.095 25.959025
## 186 27 39.095 -12.095 146.289025
## 187 39 39.095 -0.095 0.009025
## 188 57 39.095 17.905 320.589025
## 189 60 39.095 20.905 437.019025
## 190 23 39.095 -16.095 259.049025
## 191 21 39.095 -18.095 327.429025
## 192 36 39.095 -3.095 9.579025
## 193 50 39.095 10.905 118.919025
## 194 46 39.095 6.905 47.679025
## 195 27 39.095 -12.095 146.289025
## 196 60 39.095 20.905 437.019025
## 197 33 39.095 -6.095 37.149025
## 198 39 39.095 -0.095 0.009025
## 199 24 39.095 -15.095 227.859025
## 200 34 39.095 -5.095 25.959025Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 30223.19varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 151.8754Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 151.8754## [1] 26.55977desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.32377## [1] 5.153618Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3152263CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1672981Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a “edades1”, un 15.5% de valores están en un rango o intervalo de entre 36.83 y 41.59.
En relación a “edades2”, hay una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Sobre los valores estadísticos del conjunto de datos “edades1”, se tiene que el valor la media es de 39.095 y la desviación es de 12.3237718.
En cuanto a los valores estadísticos del conjunto de datos “edades2”, se tiene un valor de media de: 30.805, y un valor de desviación de: 5.1536176.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de “edades1” tiene un valor de: 0.3152263, mientras que el CV de “edades2” tiene un valor de: 0.1672981
Hay una mayor dispersión en el conjunto de “edades1” con respecto a “edades2” debido a que tiene, ligeramente, un mayor valor en su coeficiente de variación.
Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.