Caso 04 Medidas de Dispersión
Marco Antonio Mauricio Martínez
2023-02-15
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016).
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016)
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1852796257)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 56 39 38 32 36 57 28 34 23 18 36 25 53 22 26 32 40 39 46 20 59 33 25 26 58
## [26] 26 29 51 50 30 51 24 44 40 42 54 27 33 50 42 52 45 57 28 24 21 39 33 51 50
## [51] 46 47 38 26 53 33 34 44 29 55 32 41 18 30 22 37 24 19 41 59 32 22 33 41 19
## [76] 44 47 23 49 39 39 42 39 55 33 51 29 25 41 41 23 18 45 49 20 51 24 43 36 60
## [101] 53 59 40 25 36 58 36 44 35 38 45 28 58 45 59 58 45 20 45 55 20 25 38 30 55
## [126] 48 24 21 28 44 21 24 49 52 23 23 50 48 19 23 26 25 57 38 48 41 39 42 19 23
## [151] 18 40 55 20 28 38 37 22 21 59 32 21 50 39 33 33 21 46 29 42 37 20 60 51 23
## [176] 25 57 59 48 54 29 60 33 26 46 34 44 29 18 58 32 46 38 18 42 18 30 22 60 374.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log2(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 2, log2()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 28 0.14 14.0 28 14.0
## [22.57,27.33) 28 0.14 14.0 56 28.0
## [27.33,32.08) 21 0.10 10.5 77 38.5
## [32.08,36.83) 18 0.09 9.0 95 47.5
## [36.83,41.59) 29 0.14 14.5 124 62.0
## [41.59,46.34) 24 0.12 12.0 148 74.0
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 168 84.0
## [51.09,55.85) 12 0.06 6.0 180 90.0
## [55.85,60.6) 20 0.10 10.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 18 18 19 19 21 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [51] 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36
## [176] 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 40 40 41 42 42 43 44 464.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
tabla.edades2 <- fdt(x = edades2, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,21.002) 5 0.03 2.5 5 2.5
## [21.002,24.184) 19 0.10 9.5 24 12.0
## [24.184,27.367) 44 0.22 22.0 68 34.0
## [27.367,30.549) 41 0.20 20.5 109 54.5
## [30.549,33.731) 48 0.24 24.0 157 78.5
## [33.731,36.913) 25 0.12 12.5 182 91.0
## [36.913,40.096) 12 0.06 6.0 194 97.0
## [40.096,43.278) 4 0.02 2.0 198 99.0
## [43.278,46.46) 2 0.01 1.0 200 100.04.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 37.39## [1] 30.024.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 56 37.39 18.61 346.3321
## 2 39 37.39 1.61 2.5921
## 3 38 37.39 0.61 0.3721
## 4 32 37.39 -5.39 29.0521
## 5 36 37.39 -1.39 1.9321
## 6 57 37.39 19.61 384.5521
## 7 28 37.39 -9.39 88.1721
## 8 34 37.39 -3.39 11.4921
## 9 23 37.39 -14.39 207.0721
## 10 18 37.39 -19.39 375.9721
## 11 36 37.39 -1.39 1.9321
## 12 25 37.39 -12.39 153.5121
## 13 53 37.39 15.61 243.6721
## 14 22 37.39 -15.39 236.8521
## 15 26 37.39 -11.39 129.7321
## 16 32 37.39 -5.39 29.0521
## 17 40 37.39 2.61 6.8121
## 18 39 37.39 1.61 2.5921
## 19 46 37.39 8.61 74.1321
## 20 20 37.39 -17.39 302.4121
## 21 59 37.39 21.61 466.9921
## 22 33 37.39 -4.39 19.2721
## 23 25 37.39 -12.39 153.5121
## 24 26 37.39 -11.39 129.7321
## 25 58 37.39 20.61 424.7721
## 26 26 37.39 -11.39 129.7321
## 27 29 37.39 -8.39 70.3921
## 28 51 37.39 13.61 185.2321
## 29 50 37.39 12.61 159.0121
## 30 30 37.39 -7.39 54.6121
## 31 51 37.39 13.61 185.2321
## 32 24 37.39 -13.39 179.2921
## 33 44 37.39 6.61 43.6921
## 34 40 37.39 2.61 6.8121
## 35 42 37.39 4.61 21.2521
## 36 54 37.39 16.61 275.8921
## 37 27 37.39 -10.39 107.9521
## 38 33 37.39 -4.39 19.2721
## 39 50 37.39 12.61 159.0121
## 40 42 37.39 4.61 21.2521
## 41 52 37.39 14.61 213.4521
## 42 45 37.39 7.61 57.9121
## 43 57 37.39 19.61 384.5521
## 44 28 37.39 -9.39 88.1721
## 45 24 37.39 -13.39 179.2921
## 46 21 37.39 -16.39 268.6321
## 47 39 37.39 1.61 2.5921
## 48 33 37.39 -4.39 19.2721
## 49 51 37.39 13.61 185.2321
## 50 50 37.39 12.61 159.0121
## 51 46 37.39 8.61 74.1321
## 52 47 37.39 9.61 92.3521
## 53 38 37.39 0.61 0.3721
## 54 26 37.39 -11.39 129.7321
## 55 53 37.39 15.61 243.6721
## 56 33 37.39 -4.39 19.2721
## 57 34 37.39 -3.39 11.4921
## 58 44 37.39 6.61 43.6921
## 59 29 37.39 -8.39 70.3921
## 60 55 37.39 17.61 310.1121
## 61 32 37.39 -5.39 29.0521
## 62 41 37.39 3.61 13.0321
## 63 18 37.39 -19.39 375.9721
## 64 30 37.39 -7.39 54.6121
## 65 22 37.39 -15.39 236.8521
## 66 37 37.39 -0.39 0.1521
## 67 24 37.39 -13.39 179.2921
## 68 19 37.39 -18.39 338.1921
## 69 41 37.39 3.61 13.0321
## 70 59 37.39 21.61 466.9921
## 71 32 37.39 -5.39 29.0521
## 72 22 37.39 -15.39 236.8521
## 73 33 37.39 -4.39 19.2721
## 74 41 37.39 3.61 13.0321
## 75 19 37.39 -18.39 338.1921
## 76 44 37.39 6.61 43.6921
## 77 47 37.39 9.61 92.3521
## 78 23 37.39 -14.39 207.0721
## 79 49 37.39 11.61 134.7921
## 80 39 37.39 1.61 2.5921
## 81 39 37.39 1.61 2.5921
## 82 42 37.39 4.61 21.2521
## 83 39 37.39 1.61 2.5921
## 84 55 37.39 17.61 310.1121
## 85 33 37.39 -4.39 19.2721
## 86 51 37.39 13.61 185.2321
## 87 29 37.39 -8.39 70.3921
## 88 25 37.39 -12.39 153.5121
## 89 41 37.39 3.61 13.0321
## 90 41 37.39 3.61 13.0321
## 91 23 37.39 -14.39 207.0721
## 92 18 37.39 -19.39 375.9721
## 93 45 37.39 7.61 57.9121
## 94 49 37.39 11.61 134.7921
## 95 20 37.39 -17.39 302.4121
## 96 51 37.39 13.61 185.2321
## 97 24 37.39 -13.39 179.2921
## 98 43 37.39 5.61 31.4721
## 99 36 37.39 -1.39 1.9321
## 100 60 37.39 22.61 511.2121
## 101 53 37.39 15.61 243.6721
## 102 59 37.39 21.61 466.9921
## 103 40 37.39 2.61 6.8121
## 104 25 37.39 -12.39 153.5121
## 105 36 37.39 -1.39 1.9321
## 106 58 37.39 20.61 424.7721
## 107 36 37.39 -1.39 1.9321
## 108 44 37.39 6.61 43.6921
## 109 35 37.39 -2.39 5.7121
## 110 38 37.39 0.61 0.3721
## 111 45 37.39 7.61 57.9121
## 112 28 37.39 -9.39 88.1721
## 113 58 37.39 20.61 424.7721
## 114 45 37.39 7.61 57.9121
## 115 59 37.39 21.61 466.9921
## 116 58 37.39 20.61 424.7721
## 117 45 37.39 7.61 57.9121
## 118 20 37.39 -17.39 302.4121
## 119 45 37.39 7.61 57.9121
## 120 55 37.39 17.61 310.1121
## 121 20 37.39 -17.39 302.4121
## 122 25 37.39 -12.39 153.5121
## 123 38 37.39 0.61 0.3721
## 124 30 37.39 -7.39 54.6121
## 125 55 37.39 17.61 310.1121
## 126 48 37.39 10.61 112.5721
## 127 24 37.39 -13.39 179.2921
## 128 21 37.39 -16.39 268.6321
## 129 28 37.39 -9.39 88.1721
## 130 44 37.39 6.61 43.6921
## 131 21 37.39 -16.39 268.6321
## 132 24 37.39 -13.39 179.2921
## 133 49 37.39 11.61 134.7921
## 134 52 37.39 14.61 213.4521
## 135 23 37.39 -14.39 207.0721
## 136 23 37.39 -14.39 207.0721
## 137 50 37.39 12.61 159.0121
## 138 48 37.39 10.61 112.5721
## 139 19 37.39 -18.39 338.1921
## 140 23 37.39 -14.39 207.0721
## 141 26 37.39 -11.39 129.7321
## 142 25 37.39 -12.39 153.5121
## 143 57 37.39 19.61 384.5521
## 144 38 37.39 0.61 0.3721
## 145 48 37.39 10.61 112.5721
## 146 41 37.39 3.61 13.0321
## 147 39 37.39 1.61 2.5921
## 148 42 37.39 4.61 21.2521
## 149 19 37.39 -18.39 338.1921
## 150 23 37.39 -14.39 207.0721
## 151 18 37.39 -19.39 375.9721
## 152 40 37.39 2.61 6.8121
## 153 55 37.39 17.61 310.1121
## 154 20 37.39 -17.39 302.4121
## 155 28 37.39 -9.39 88.1721
## 156 38 37.39 0.61 0.3721
## 157 37 37.39 -0.39 0.1521
## 158 22 37.39 -15.39 236.8521
## 159 21 37.39 -16.39 268.6321
## 160 59 37.39 21.61 466.9921
## 161 32 37.39 -5.39 29.0521
## 162 21 37.39 -16.39 268.6321
## 163 50 37.39 12.61 159.0121
## 164 39 37.39 1.61 2.5921
## 165 33 37.39 -4.39 19.2721
## 166 33 37.39 -4.39 19.2721
## 167 21 37.39 -16.39 268.6321
## 168 46 37.39 8.61 74.1321
## 169 29 37.39 -8.39 70.3921
## 170 42 37.39 4.61 21.2521
## 171 37 37.39 -0.39 0.1521
## 172 20 37.39 -17.39 302.4121
## 173 60 37.39 22.61 511.2121
## 174 51 37.39 13.61 185.2321
## 175 23 37.39 -14.39 207.0721
## 176 25 37.39 -12.39 153.5121
## 177 57 37.39 19.61 384.5521
## 178 59 37.39 21.61 466.9921
## 179 48 37.39 10.61 112.5721
## 180 54 37.39 16.61 275.8921
## 181 29 37.39 -8.39 70.3921
## 182 60 37.39 22.61 511.2121
## 183 33 37.39 -4.39 19.2721
## 184 26 37.39 -11.39 129.7321
## 185 46 37.39 8.61 74.1321
## 186 34 37.39 -3.39 11.4921
## 187 44 37.39 6.61 43.6921
## 188 29 37.39 -8.39 70.3921
## 189 18 37.39 -19.39 375.9721
## 190 58 37.39 20.61 424.7721
## 191 32 37.39 -5.39 29.0521
## 192 46 37.39 8.61 74.1321
## 193 38 37.39 0.61 0.3721
## 194 18 37.39 -19.39 375.9721
## 195 42 37.39 4.61 21.2521
## 196 18 37.39 -19.39 375.9721
## 197 30 37.39 -7.39 54.6121
## 198 22 37.39 -15.39 236.8521
## 199 60 37.39 22.61 511.2121
## 200 37 37.39 -0.39 0.1521Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 31097.58varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 156.2692Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 156.2692## [1] 24.88402desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.50077## [1] 4.9883894.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3343346CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16616885 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan al conjunto de datos organizados en clases, que son subconjuntos de datos que tienen una longitud en la que algunos de sus datos entran y pueden ser categorizados por grupos.
¿Cuál es el valor relativo de valores presentes en la clase de mayor frecuencia en edades1 y edades2, además cuáles son sus límites de clase?
La clase 5 de edades1 es la de mayor frecuencia,
contiene el 14.5% de valores que están en un rango entre 36.83 y
41.59.
La clase 5 de edades2 es la de mayor frecuencia,
contiene el 24% de valores que están en un rango entre 30.54 y
33.73.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
La media de edades1 es 37.39 y su desviación es de:
12.5007698.
La media de edades2 es 30.02 y su desviación es de:
4.9883885.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es:
0.3343346.
El coeficiente de variación de edades2 es:
0.1661688.
Esto significa que los datos de edades1 tienden a ser un
poco más dispersos con respecto a los datos de edades2.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.