Caso 04. Medidas de dispersión
Yesica Audelia Puentes Olivas
2023-02-14
Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
Desarrollo
Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficosDatos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1176)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )edades1
Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 45 31 59 39 37 40 52 36 46 50 22 23 52 33 29 32 54 51 24 27 24 54 28 33 58
## [26] 23 27 59 49 58 28 40 52 26 33 42 57 25 57 19 55 21 52 60 45 46 27 30 34 40
## [51] 30 31 41 50 51 22 54 57 38 58 23 60 52 53 25 46 22 57 31 44 57 28 32 45 48
## [76] 56 36 22 30 45 60 60 40 57 49 33 32 48 30 38 23 48 18 49 37 31 25 32 48 55
## [101] 45 47 52 22 42 18 18 36 50 38 41 45 58 23 28 55 45 28 26 41 50 19 35 60 51
## [126] 18 34 45 27 40 46 26 52 56 23 31 19 48 49 55 23 41 59 19 20 59 24 25 44 54
## [151] 28 49 56 34 38 29 34 36 25 41 60 34 37 19 41 21 34 19 58 53 40 41 30 57 24
## [176] 22 18 34 59 48 29 29 35 28 49 38 25 43 22 42 49 27 60 52 38 19 52 50 20 58Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 23 0.12 11.5 23 11.5
## [22.57,27.33) 25 0.12 12.5 48 24.0
## [27.33,32.08) 25 0.12 12.5 73 36.5
## [32.08,36.83) 17 0.09 8.5 90 45.0
## [36.83,41.59) 23 0.12 11.5 113 56.5
## [41.59,46.34) 18 0.09 9.0 131 65.5
## [46.34,51.09) 22 0.11 11.0 153 76.5
## [51.09,55.85) 19 0.10 9.5 172 86.0
## [55.85,60.6) 28 0.14 14.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
edades2
Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 14 14 15 16 18 18 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 22 23 23 23
## [26] 23 23 23 23 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26
## [51] 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35
## [176] 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 39 39 42 43 43 45Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='blue') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.175## [1] 29.48Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 45 39.175 5.825 33.930625
## 2 31 39.175 -8.175 66.830625
## 3 59 39.175 19.825 393.030625
## 4 39 39.175 -0.175 0.030625
## 5 37 39.175 -2.175 4.730625
## 6 40 39.175 0.825 0.680625
## 7 52 39.175 12.825 164.480625
## 8 36 39.175 -3.175 10.080625
## 9 46 39.175 6.825 46.580625
## 10 50 39.175 10.825 117.180625
## 11 22 39.175 -17.175 294.980625
## 12 23 39.175 -16.175 261.630625
## 13 52 39.175 12.825 164.480625
## 14 33 39.175 -6.175 38.130625
## 15 29 39.175 -10.175 103.530625
## 16 32 39.175 -7.175 51.480625
## 17 54 39.175 14.825 219.780625
## 18 51 39.175 11.825 139.830625
## 19 24 39.175 -15.175 230.280625
## 20 27 39.175 -12.175 148.230625
## 21 24 39.175 -15.175 230.280625
## 22 54 39.175 14.825 219.780625
## 23 28 39.175 -11.175 124.880625
## 24 33 39.175 -6.175 38.130625
## 25 58 39.175 18.825 354.380625
## 26 23 39.175 -16.175 261.630625
## 27 27 39.175 -12.175 148.230625
## 28 59 39.175 19.825 393.030625
## 29 49 39.175 9.825 96.530625
## 30 58 39.175 18.825 354.380625
## 31 28 39.175 -11.175 124.880625
## 32 40 39.175 0.825 0.680625
## 33 52 39.175 12.825 164.480625
## 34 26 39.175 -13.175 173.580625
## 35 33 39.175 -6.175 38.130625
## 36 42 39.175 2.825 7.980625
## 37 57 39.175 17.825 317.730625
## 38 25 39.175 -14.175 200.930625
## 39 57 39.175 17.825 317.730625
## 40 19 39.175 -20.175 407.030625
## 41 55 39.175 15.825 250.430625
## 42 21 39.175 -18.175 330.330625
## 43 52 39.175 12.825 164.480625
## 44 60 39.175 20.825 433.680625
## 45 45 39.175 5.825 33.930625
## 46 46 39.175 6.825 46.580625
## 47 27 39.175 -12.175 148.230625
## 48 30 39.175 -9.175 84.180625
## 49 34 39.175 -5.175 26.780625
## 50 40 39.175 0.825 0.680625
## 51 30 39.175 -9.175 84.180625
## 52 31 39.175 -8.175 66.830625
## 53 41 39.175 1.825 3.330625
## 54 50 39.175 10.825 117.180625
## 55 51 39.175 11.825 139.830625
## 56 22 39.175 -17.175 294.980625
## 57 54 39.175 14.825 219.780625
## 58 57 39.175 17.825 317.730625
## 59 38 39.175 -1.175 1.380625
## 60 58 39.175 18.825 354.380625
## 61 23 39.175 -16.175 261.630625
## 62 60 39.175 20.825 433.680625
## 63 52 39.175 12.825 164.480625
## 64 53 39.175 13.825 191.130625
## 65 25 39.175 -14.175 200.930625
## 66 46 39.175 6.825 46.580625
## 67 22 39.175 -17.175 294.980625
## 68 57 39.175 17.825 317.730625
## 69 31 39.175 -8.175 66.830625
## 70 44 39.175 4.825 23.280625
## 71 57 39.175 17.825 317.730625
## 72 28 39.175 -11.175 124.880625
## 73 32 39.175 -7.175 51.480625
## 74 45 39.175 5.825 33.930625
## 75 48 39.175 8.825 77.880625
## 76 56 39.175 16.825 283.080625
## 77 36 39.175 -3.175 10.080625
## 78 22 39.175 -17.175 294.980625
## 79 30 39.175 -9.175 84.180625
## 80 45 39.175 5.825 33.930625
## 81 60 39.175 20.825 433.680625
## 82 60 39.175 20.825 433.680625
## 83 40 39.175 0.825 0.680625
## 84 57 39.175 17.825 317.730625
## 85 49 39.175 9.825 96.530625
## 86 33 39.175 -6.175 38.130625
## 87 32 39.175 -7.175 51.480625
## 88 48 39.175 8.825 77.880625
## 89 30 39.175 -9.175 84.180625
## 90 38 39.175 -1.175 1.380625
## 91 23 39.175 -16.175 261.630625
## 92 48 39.175 8.825 77.880625
## 93 18 39.175 -21.175 448.380625
## 94 49 39.175 9.825 96.530625
## 95 37 39.175 -2.175 4.730625
## 96 31 39.175 -8.175 66.830625
## 97 25 39.175 -14.175 200.930625
## 98 32 39.175 -7.175 51.480625
## 99 48 39.175 8.825 77.880625
## 100 55 39.175 15.825 250.430625
## 101 45 39.175 5.825 33.930625
## 102 47 39.175 7.825 61.230625
## 103 52 39.175 12.825 164.480625
## 104 22 39.175 -17.175 294.980625
## 105 42 39.175 2.825 7.980625
## 106 18 39.175 -21.175 448.380625
## 107 18 39.175 -21.175 448.380625
## 108 36 39.175 -3.175 10.080625
## 109 50 39.175 10.825 117.180625
## 110 38 39.175 -1.175 1.380625
## 111 41 39.175 1.825 3.330625
## 112 45 39.175 5.825 33.930625
## 113 58 39.175 18.825 354.380625
## 114 23 39.175 -16.175 261.630625
## 115 28 39.175 -11.175 124.880625
## 116 55 39.175 15.825 250.430625
## 117 45 39.175 5.825 33.930625
## 118 28 39.175 -11.175 124.880625
## 119 26 39.175 -13.175 173.580625
## 120 41 39.175 1.825 3.330625
## 121 50 39.175 10.825 117.180625
## 122 19 39.175 -20.175 407.030625
## 123 35 39.175 -4.175 17.430625
## 124 60 39.175 20.825 433.680625
## 125 51 39.175 11.825 139.830625
## 126 18 39.175 -21.175 448.380625
## 127 34 39.175 -5.175 26.780625
## 128 45 39.175 5.825 33.930625
## 129 27 39.175 -12.175 148.230625
## 130 40 39.175 0.825 0.680625
## 131 46 39.175 6.825 46.580625
## 132 26 39.175 -13.175 173.580625
## 133 52 39.175 12.825 164.480625
## 134 56 39.175 16.825 283.080625
## 135 23 39.175 -16.175 261.630625
## 136 31 39.175 -8.175 66.830625
## 137 19 39.175 -20.175 407.030625
## 138 48 39.175 8.825 77.880625
## 139 49 39.175 9.825 96.530625
## 140 55 39.175 15.825 250.430625
## 141 23 39.175 -16.175 261.630625
## 142 41 39.175 1.825 3.330625
## 143 59 39.175 19.825 393.030625
## 144 19 39.175 -20.175 407.030625
## 145 20 39.175 -19.175 367.680625
## 146 59 39.175 19.825 393.030625
## 147 24 39.175 -15.175 230.280625
## 148 25 39.175 -14.175 200.930625
## 149 44 39.175 4.825 23.280625
## 150 54 39.175 14.825 219.780625
## 151 28 39.175 -11.175 124.880625
## 152 49 39.175 9.825 96.530625
## 153 56 39.175 16.825 283.080625
## 154 34 39.175 -5.175 26.780625
## 155 38 39.175 -1.175 1.380625
## 156 29 39.175 -10.175 103.530625
## 157 34 39.175 -5.175 26.780625
## 158 36 39.175 -3.175 10.080625
## 159 25 39.175 -14.175 200.930625
## 160 41 39.175 1.825 3.330625
## 161 60 39.175 20.825 433.680625
## 162 34 39.175 -5.175 26.780625
## 163 37 39.175 -2.175 4.730625
## 164 19 39.175 -20.175 407.030625
## 165 41 39.175 1.825 3.330625
## 166 21 39.175 -18.175 330.330625
## 167 34 39.175 -5.175 26.780625
## 168 19 39.175 -20.175 407.030625
## 169 58 39.175 18.825 354.380625
## 170 53 39.175 13.825 191.130625
## 171 40 39.175 0.825 0.680625
## 172 41 39.175 1.825 3.330625
## 173 30 39.175 -9.175 84.180625
## 174 57 39.175 17.825 317.730625
## 175 24 39.175 -15.175 230.280625
## 176 22 39.175 -17.175 294.980625
## 177 18 39.175 -21.175 448.380625
## 178 34 39.175 -5.175 26.780625
## 179 59 39.175 19.825 393.030625
## 180 48 39.175 8.825 77.880625
## 181 29 39.175 -10.175 103.530625
## 182 29 39.175 -10.175 103.530625
## 183 35 39.175 -4.175 17.430625
## 184 28 39.175 -11.175 124.880625
## 185 49 39.175 9.825 96.530625
## 186 38 39.175 -1.175 1.380625
## 187 25 39.175 -14.175 200.930625
## 188 43 39.175 3.825 14.630625
## 189 22 39.175 -17.175 294.980625
## 190 42 39.175 2.825 7.980625
## 191 49 39.175 9.825 96.530625
## 192 27 39.175 -12.175 148.230625
## 193 60 39.175 20.825 433.680625
## 194 52 39.175 12.825 164.480625
## 195 38 39.175 -1.175 1.380625
## 196 19 39.175 -20.175 407.030625
## 197 52 39.175 12.825 164.480625
## 198 50 39.175 10.825 117.180625
## 199 20 39.175 -19.175 367.680625
## 200 58 39.175 18.825 354.380625Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 33182.88varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 166.7481Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 166.7481## [1] 30.44181desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.9131## [1] 5.51741Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.329626CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1871577Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia muestran de manera clara y consica los datos que se utilizan y asi permitiendo observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a el conjunto de datos de edades1, el valor la media es de: 39.175, la desviación es de: 12.9130986.
Con respecto a el conjunto de datos de edades2, el valor la media es de: 29.48, la desviación es de: 5.5174096.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.329626 en cambio el coeficiente de variacion de edades2 es de: 0.1871577
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 ya el valor de el coeficiente es mayor con mostrando una diferencia de 0.1424683.
Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.