Caso 04 Medidas de dispersion
César Garcés González
2023-02-14
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016).
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016)
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1126)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 46 45 51 51 50 38 41 35 38 48 53 21 32 19 44 40 50 44 40 56 36 43 54 24 59
## [26] 38 60 29 18 32 19 35 24 47 28 49 33 40 47 40 42 32 43 27 30 54 47 56 20 50
## [51] 35 56 49 26 51 27 18 55 60 21 21 49 44 56 45 42 29 38 44 59 24 59 37 54 56
## [76] 26 37 24 51 50 18 51 38 29 28 33 60 50 40 43 20 24 37 37 35 21 33 34 32 41
## [101] 58 35 22 23 36 21 50 23 35 56 41 31 20 28 32 19 42 43 28 20 34 54 23 40 32
## [126] 43 54 55 52 21 43 35 48 52 48 23 47 36 40 22 23 25 36 42 48 18 30 58 35 25
## [151] 45 60 57 51 48 53 34 49 51 26 30 53 18 33 47 36 21 35 44 35 28 27 57 46 46
## [176] 49 58 21 19 29 42 22 25 46 34 32 29 40 31 52 27 26 26 32 36 52 36 26 58 184.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log2(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 25 0.12 12.5 25 12.5
## [22.57,27.33) 23 0.12 11.5 48 24.0
## [27.33,32.08) 23 0.12 11.5 71 35.5
## [32.08,36.83) 25 0.12 12.5 96 48.0
## [36.83,41.59) 20 0.10 10.0 116 58.0
## [41.59,46.34) 23 0.12 11.5 139 69.5
## [46.34,51.09) 28 0.14 14.0 167 83.5
## [51.09,55.85) 14 0.07 7.0 181 90.5
## [55.85,60.6) 19 0.10 9.5 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 16 18 18 19 19 20 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29
## [76] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
## [176] 34 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 394.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.23## [1] 29.7254.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 46 38.23 7.77 60.3729
## 2 45 38.23 6.77 45.8329
## 3 51 38.23 12.77 163.0729
## 4 51 38.23 12.77 163.0729
## 5 50 38.23 11.77 138.5329
## 6 38 38.23 -0.23 0.0529
## 7 41 38.23 2.77 7.6729
## 8 35 38.23 -3.23 10.4329
## 9 38 38.23 -0.23 0.0529
## 10 48 38.23 9.77 95.4529
## 11 53 38.23 14.77 218.1529
## 12 21 38.23 -17.23 296.8729
## 13 32 38.23 -6.23 38.8129
## 14 19 38.23 -19.23 369.7929
## 15 44 38.23 5.77 33.2929
## 16 40 38.23 1.77 3.1329
## 17 50 38.23 11.77 138.5329
## 18 44 38.23 5.77 33.2929
## 19 40 38.23 1.77 3.1329
## 20 56 38.23 17.77 315.7729
## 21 36 38.23 -2.23 4.9729
## 22 43 38.23 4.77 22.7529
## 23 54 38.23 15.77 248.6929
## 24 24 38.23 -14.23 202.4929
## 25 59 38.23 20.77 431.3929
## 26 38 38.23 -0.23 0.0529
## 27 60 38.23 21.77 473.9329
## 28 29 38.23 -9.23 85.1929
## 29 18 38.23 -20.23 409.2529
## 30 32 38.23 -6.23 38.8129
## 31 19 38.23 -19.23 369.7929
## 32 35 38.23 -3.23 10.4329
## 33 24 38.23 -14.23 202.4929
## 34 47 38.23 8.77 76.9129
## 35 28 38.23 -10.23 104.6529
## 36 49 38.23 10.77 115.9929
## 37 33 38.23 -5.23 27.3529
## 38 40 38.23 1.77 3.1329
## 39 47 38.23 8.77 76.9129
## 40 40 38.23 1.77 3.1329
## 41 42 38.23 3.77 14.2129
## 42 32 38.23 -6.23 38.8129
## 43 43 38.23 4.77 22.7529
## 44 27 38.23 -11.23 126.1129
## 45 30 38.23 -8.23 67.7329
## 46 54 38.23 15.77 248.6929
## 47 47 38.23 8.77 76.9129
## 48 56 38.23 17.77 315.7729
## 49 20 38.23 -18.23 332.3329
## 50 50 38.23 11.77 138.5329
## 51 35 38.23 -3.23 10.4329
## 52 56 38.23 17.77 315.7729
## 53 49 38.23 10.77 115.9929
## 54 26 38.23 -12.23 149.5729
## 55 51 38.23 12.77 163.0729
## 56 27 38.23 -11.23 126.1129
## 57 18 38.23 -20.23 409.2529
## 58 55 38.23 16.77 281.2329
## 59 60 38.23 21.77 473.9329
## 60 21 38.23 -17.23 296.8729
## 61 21 38.23 -17.23 296.8729
## 62 49 38.23 10.77 115.9929
## 63 44 38.23 5.77 33.2929
## 64 56 38.23 17.77 315.7729
## 65 45 38.23 6.77 45.8329
## 66 42 38.23 3.77 14.2129
## 67 29 38.23 -9.23 85.1929
## 68 38 38.23 -0.23 0.0529
## 69 44 38.23 5.77 33.2929
## 70 59 38.23 20.77 431.3929
## 71 24 38.23 -14.23 202.4929
## 72 59 38.23 20.77 431.3929
## 73 37 38.23 -1.23 1.5129
## 74 54 38.23 15.77 248.6929
## 75 56 38.23 17.77 315.7729
## 76 26 38.23 -12.23 149.5729
## 77 37 38.23 -1.23 1.5129
## 78 24 38.23 -14.23 202.4929
## 79 51 38.23 12.77 163.0729
## 80 50 38.23 11.77 138.5329
## 81 18 38.23 -20.23 409.2529
## 82 51 38.23 12.77 163.0729
## 83 38 38.23 -0.23 0.0529
## 84 29 38.23 -9.23 85.1929
## 85 28 38.23 -10.23 104.6529
## 86 33 38.23 -5.23 27.3529
## 87 60 38.23 21.77 473.9329
## 88 50 38.23 11.77 138.5329
## 89 40 38.23 1.77 3.1329
## 90 43 38.23 4.77 22.7529
## 91 20 38.23 -18.23 332.3329
## 92 24 38.23 -14.23 202.4929
## 93 37 38.23 -1.23 1.5129
## 94 37 38.23 -1.23 1.5129
## 95 35 38.23 -3.23 10.4329
## 96 21 38.23 -17.23 296.8729
## 97 33 38.23 -5.23 27.3529
## 98 34 38.23 -4.23 17.8929
## 99 32 38.23 -6.23 38.8129
## 100 41 38.23 2.77 7.6729
## 101 58 38.23 19.77 390.8529
## 102 35 38.23 -3.23 10.4329
## 103 22 38.23 -16.23 263.4129
## 104 23 38.23 -15.23 231.9529
## 105 36 38.23 -2.23 4.9729
## 106 21 38.23 -17.23 296.8729
## 107 50 38.23 11.77 138.5329
## 108 23 38.23 -15.23 231.9529
## 109 35 38.23 -3.23 10.4329
## 110 56 38.23 17.77 315.7729
## 111 41 38.23 2.77 7.6729
## 112 31 38.23 -7.23 52.2729
## 113 20 38.23 -18.23 332.3329
## 114 28 38.23 -10.23 104.6529
## 115 32 38.23 -6.23 38.8129
## 116 19 38.23 -19.23 369.7929
## 117 42 38.23 3.77 14.2129
## 118 43 38.23 4.77 22.7529
## 119 28 38.23 -10.23 104.6529
## 120 20 38.23 -18.23 332.3329
## 121 34 38.23 -4.23 17.8929
## 122 54 38.23 15.77 248.6929
## 123 23 38.23 -15.23 231.9529
## 124 40 38.23 1.77 3.1329
## 125 32 38.23 -6.23 38.8129
## 126 43 38.23 4.77 22.7529
## 127 54 38.23 15.77 248.6929
## 128 55 38.23 16.77 281.2329
## 129 52 38.23 13.77 189.6129
## 130 21 38.23 -17.23 296.8729
## 131 43 38.23 4.77 22.7529
## 132 35 38.23 -3.23 10.4329
## 133 48 38.23 9.77 95.4529
## 134 52 38.23 13.77 189.6129
## 135 48 38.23 9.77 95.4529
## 136 23 38.23 -15.23 231.9529
## 137 47 38.23 8.77 76.9129
## 138 36 38.23 -2.23 4.9729
## 139 40 38.23 1.77 3.1329
## 140 22 38.23 -16.23 263.4129
## 141 23 38.23 -15.23 231.9529
## 142 25 38.23 -13.23 175.0329
## 143 36 38.23 -2.23 4.9729
## 144 42 38.23 3.77 14.2129
## 145 48 38.23 9.77 95.4529
## 146 18 38.23 -20.23 409.2529
## 147 30 38.23 -8.23 67.7329
## 148 58 38.23 19.77 390.8529
## 149 35 38.23 -3.23 10.4329
## 150 25 38.23 -13.23 175.0329
## 151 45 38.23 6.77 45.8329
## 152 60 38.23 21.77 473.9329
## 153 57 38.23 18.77 352.3129
## 154 51 38.23 12.77 163.0729
## 155 48 38.23 9.77 95.4529
## 156 53 38.23 14.77 218.1529
## 157 34 38.23 -4.23 17.8929
## 158 49 38.23 10.77 115.9929
## 159 51 38.23 12.77 163.0729
## 160 26 38.23 -12.23 149.5729
## 161 30 38.23 -8.23 67.7329
## 162 53 38.23 14.77 218.1529
## 163 18 38.23 -20.23 409.2529
## 164 33 38.23 -5.23 27.3529
## 165 47 38.23 8.77 76.9129
## 166 36 38.23 -2.23 4.9729
## 167 21 38.23 -17.23 296.8729
## 168 35 38.23 -3.23 10.4329
## 169 44 38.23 5.77 33.2929
## 170 35 38.23 -3.23 10.4329
## 171 28 38.23 -10.23 104.6529
## 172 27 38.23 -11.23 126.1129
## 173 57 38.23 18.77 352.3129
## 174 46 38.23 7.77 60.3729
## 175 46 38.23 7.77 60.3729
## 176 49 38.23 10.77 115.9929
## 177 58 38.23 19.77 390.8529
## 178 21 38.23 -17.23 296.8729
## 179 19 38.23 -19.23 369.7929
## 180 29 38.23 -9.23 85.1929
## 181 42 38.23 3.77 14.2129
## 182 22 38.23 -16.23 263.4129
## 183 25 38.23 -13.23 175.0329
## 184 46 38.23 7.77 60.3729
## 185 34 38.23 -4.23 17.8929
## 186 32 38.23 -6.23 38.8129
## 187 29 38.23 -9.23 85.1929
## 188 40 38.23 1.77 3.1329
## 189 31 38.23 -7.23 52.2729
## 190 52 38.23 13.77 189.6129
## 191 27 38.23 -11.23 126.1129
## 192 26 38.23 -12.23 149.5729
## 193 26 38.23 -12.23 149.5729
## 194 32 38.23 -6.23 38.8129
## 195 36 38.23 -2.23 4.9729
## 196 52 38.23 13.77 189.6129
## 197 36 38.23 -2.23 4.9729
## 198 26 38.23 -12.23 149.5729
## 199 58 38.23 19.77 390.8529
## 200 18 38.23 -20.23 409.2529Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 29209.42varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 146.781Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 146.781## [1] 19.58731desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.11532## [1] 4.4257554.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3169061CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.148895 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Demuestran los datos que se utilizan de una mejor manera y teniendo un mejor orden, se nos muestra el rango de cada clase con su frecuencia, frecuencia relativa, valor relativo en porcentaje, frecuencia acumulada y frecuencia porcentual acumulada. Como en el edades1 el 10% de valores en el rango de clase 36.83 y 41.59
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Los valores de los datos edades1 en la media es de: 38.23 y el de la desviación es de: 12.1153211.
Los valores de los datos edades2 en la media es de: 29.725y el de la desviación es de: 4.4257555.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
Los valores del coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3169061 y el coeficiente de variacion de edades2 es de: 0.14889
Aqui se nos muestra que el coeficiente de variacion de edades1 tiene mucho mas dispersion que el de edades2 ya que su valor es mucho mayor que el de edades2.