¿Qué tan grande tiene que ser un grupo de personas para que la probabilidad de que al menos dos cumplan años el mismo día sea aproximadamente \(50\%\)? Es claro que en un grupo de trescientas sesenta y seis personas o más, la probabilidad de que al menos dos tengan el mismo cumpleaños es del \(100\%\), entonces la intuición nos podría tentar a pensar que necesitaríamos de ciento ochenta y tres personas para que esta probabilidad sea aproximadamente del \(50\%\); sin embargo, esto no es tan así, y las leyes de la probabilidad nos ayudaran a entender el porqué.
Definamos entonces el experimento a realizar y los eventos.
Experimento: Se preguntan las fechas de cumpleaños de todo un grupo de \(n\) personas.
\(E_n:\) De entre las \(n\) personas del grupo, al menos dos cumplen años el mismo día.
Es claro que \(n \geq 2\).
Calcular \(P(E_n)\) es un problema combinatorio bastante complejo, por lo que es mejor optar calcular \(P(E_n^c)\) y emplear la ley de la probabilidad del complemento de eventos \(P(E_n) = 1 - P(E_n^c)\).
El evento \(E_n^c\) se debe leer como: “De entre las \(n\) personas del grupo, ni una cumple años el mismo día”.
Calculemos entonces \(P(E_n^c)\) para distintos \(n\).
\[ \begin{align} P(E_2^c) &= \frac{364}{365} \\ \ P(E_3^c) &= \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \\ \ P(E_4^c) &= \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \\ \ \end{align} \] Se puede ver claramente que existe un patrón. Por lo tanto, para cualquier \(n \geq 2\) se tiene que:
\[ P(E_n^c) = \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \cdots \frac{366-n}{365} \]
Empleando notación factorial, podemos escribir \(P(E_n^c)\) como una función:
\[P(E_n^c) = \frac{364!}{(365)^{n-1} \ \cdot \ (365-n)!}\ , \ n \geq 2\]
Empleando la ley de la probabilidad del complemento:
\[ P(E_n) = 1 - \frac{364!}{(365)^{n-1} \ \cdot \ (365-n)!}\ , \ n \geq 2 \] Si usamos la notación del combinatorio, tenemos que:
\[ P(E_n) = 1 - \frac{n!}{365^n} \cdot \binom{365}{n}\ , \ n \geq 2 \]
Evidentemente \(P(E_n) = 1\) siempre que \(n \geq 366\).
Podemos observar ciertos valores de \(P(E_n)\) para determinados \(n\). Utilizando el lenguaje \(\texttt{R}\).
library(latex2exp)
library(knitr)n = 2:100
p = 1 - factorial(n)/365^n * choose(365, n)
probs = c(0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 0.99)
n.probs = rep(NA, length(probs))
p.probs = rep(NA, length(probs))
for (i in 1:length(probs)) {
n.probs[i] = min(n[p > probs[i]])
p.probs[i] = min(p[p > probs[i]])
}
kable(x = data.frame(cbind(n.probs, p.probs)),
col.names = c("n", "Probabilidad"),
align = rep("c", 2),
digits = 3)| n | Probabilidad |
|---|---|
| 15 | 0.253 |
| 23 | 0.507 |
| 32 | 0.753 |
| 41 | 0.903 |
| 57 | 0.990 |
Vemos entonces que en un grupo de veintitrés personas la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día es del \(50.7\%\), cuando el grupo es de cuarenta y uno la probabilidad ya es del \(90.3\%\) y con cincuenta y siete personas el evento es casi seguro con una probabilidad del \(99\%\). Como se indicó al principio, estas probabilidades son muy anti intuitivas, por qué se podría pensar que para obtener estas probabilidades se requerirían grupos de personas más grandes; sin embargo, podemos observar el comportamiento de la probabilidad en función de \(n\) en el siguiente gráfico.
n = 2:60
p = 1 - factorial(n)/365^n * choose(365, n)
plot(x = n,
y = p,
pch = 20,
cex = 0.5)
abline(h = 0.5, lty = 2, cex = 0.2, col = "red")
text(x = 10, y = 0.55, TeX("$P(E_{23}) = 0.507$"))
Conocemos que \(P(E_n) = 1\) siempre
que \(n \geq 366\), ademas también
conocemos que \(P(E_{57}) = 0.99\),
podríamos decir entonces que la probabilidad crece “rápido” cuando \(2 \leq n \leq 57\), sin embargo cuando
\(58 \leq n \leq 365\) la probabilidad
crece extremadamente poco.
Por lo tanto, respondiendo a la pregunta inicial, para que la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día sea del \(50\%\) aproximadamente, la cantidad de personas en ese grupo deben ser 23. Básicamente, si se juegan muchísimos partidos de fútbol once contra once y agregamos al árbitro, en la mitad de esos partidos al menos dos personas en cancha tendrán el mismo día de cumpleaños.