Caso 4 Medidas de dispersión
Aranza Estefanía García Alvarado
2023-02-12
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(22041127)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 40 23 60 22 19 59 20 41 33 36 33 49 50 42 28 31 46 53 22 55 47 44 43 20 54
## [26] 52 41 18 53 55 47 51 40 24 25 24 26 52 40 53 34 55 57 50 25 18 54 55 33 60
## [51] 52 30 24 41 52 28 39 24 49 46 45 25 35 40 28 49 31 41 42 60 35 39 23 28 34
## [76] 20 31 39 58 30 49 26 53 33 21 48 19 28 35 19 31 39 45 41 49 44 22 54 32 60
## [101] 36 36 45 38 48 21 34 59 42 41 49 51 47 49 56 28 20 18 33 31 41 31 41 31 46
## [126] 53 30 30 29 43 55 19 27 40 42 30 44 25 18 31 41 22 40 20 55 25 31 58 30 37
## [151] 56 27 58 60 36 33 44 44 29 45 25 53 38 45 51 48 24 41 50 28 19 26 18 19 22
## [176] 60 22 54 35 24 58 42 43 50 54 41 33 43 42 35 39 21 39 40 53 36 35 53 25 584.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 25 0.12 12.5 25 12.5
## [22.57,27.33) 20 0.10 10.0 45 22.5
## [27.33,32.08) 25 0.12 12.5 70 35.0
## [32.08,36.83) 21 0.10 10.5 91 45.5
## [36.83,41.59) 27 0.14 13.5 118 59.0
## [41.59,46.34) 23 0.12 11.5 141 70.5
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 161 80.5
## [51.09,55.85) 23 0.12 11.5 184 92.0
## [55.85,60.6) 16 0.08 8.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 18 19 19 19 20 21 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [151] 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
## [176] 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 38 38 39 40 40 40 41 434.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
tabla.edades2 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 25 0.12 12.5 25 12.5
## [22.57,27.33) 20 0.10 10.0 45 22.5
## [27.33,32.08) 25 0.12 12.5 70 35.0
## [32.08,36.83) 21 0.10 10.5 91 45.5
## [36.83,41.59) 27 0.14 13.5 118 59.0
## [41.59,46.34) 23 0.12 11.5 141 70.5
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 161 80.5
## [51.09,55.85) 23 0.12 11.5 184 92.0
## [55.85,60.6) 16 0.08 8.0 200 100.0Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.495## [1] 29.964.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 40 38.495 1.505 2.265025
## 2 23 38.495 -15.495 240.095025
## 3 60 38.495 21.505 462.465025
## 4 22 38.495 -16.495 272.085025
## 5 19 38.495 -19.495 380.055025
## 6 59 38.495 20.505 420.455025
## 7 20 38.495 -18.495 342.065025
## 8 41 38.495 2.505 6.275025
## 9 33 38.495 -5.495 30.195025
## 10 36 38.495 -2.495 6.225025
## 11 33 38.495 -5.495 30.195025
## 12 49 38.495 10.505 110.355025
## 13 50 38.495 11.505 132.365025
## 14 42 38.495 3.505 12.285025
## 15 28 38.495 -10.495 110.145025
## 16 31 38.495 -7.495 56.175025
## 17 46 38.495 7.505 56.325025
## 18 53 38.495 14.505 210.395025
## 19 22 38.495 -16.495 272.085025
## 20 55 38.495 16.505 272.415025
## 21 47 38.495 8.505 72.335025
## 22 44 38.495 5.505 30.305025
## 23 43 38.495 4.505 20.295025
## 24 20 38.495 -18.495 342.065025
## 25 54 38.495 15.505 240.405025
## 26 52 38.495 13.505 182.385025
## 27 41 38.495 2.505 6.275025
## 28 18 38.495 -20.495 420.045025
## 29 53 38.495 14.505 210.395025
## 30 55 38.495 16.505 272.415025
## 31 47 38.495 8.505 72.335025
## 32 51 38.495 12.505 156.375025
## 33 40 38.495 1.505 2.265025
## 34 24 38.495 -14.495 210.105025
## 35 25 38.495 -13.495 182.115025
## 36 24 38.495 -14.495 210.105025
## 37 26 38.495 -12.495 156.125025
## 38 52 38.495 13.505 182.385025
## 39 40 38.495 1.505 2.265025
## 40 53 38.495 14.505 210.395025
## 41 34 38.495 -4.495 20.205025
## 42 55 38.495 16.505 272.415025
## 43 57 38.495 18.505 342.435025
## 44 50 38.495 11.505 132.365025
## 45 25 38.495 -13.495 182.115025
## 46 18 38.495 -20.495 420.045025
## 47 54 38.495 15.505 240.405025
## 48 55 38.495 16.505 272.415025
## 49 33 38.495 -5.495 30.195025
## 50 60 38.495 21.505 462.465025
## 51 52 38.495 13.505 182.385025
## 52 30 38.495 -8.495 72.165025
## 53 24 38.495 -14.495 210.105025
## 54 41 38.495 2.505 6.275025
## 55 52 38.495 13.505 182.385025
## 56 28 38.495 -10.495 110.145025
## 57 39 38.495 0.505 0.255025
## 58 24 38.495 -14.495 210.105025
## 59 49 38.495 10.505 110.355025
## 60 46 38.495 7.505 56.325025
## 61 45 38.495 6.505 42.315025
## 62 25 38.495 -13.495 182.115025
## 63 35 38.495 -3.495 12.215025
## 64 40 38.495 1.505 2.265025
## 65 28 38.495 -10.495 110.145025
## 66 49 38.495 10.505 110.355025
## 67 31 38.495 -7.495 56.175025
## 68 41 38.495 2.505 6.275025
## 69 42 38.495 3.505 12.285025
## 70 60 38.495 21.505 462.465025
## 71 35 38.495 -3.495 12.215025
## 72 39 38.495 0.505 0.255025
## 73 23 38.495 -15.495 240.095025
## 74 28 38.495 -10.495 110.145025
## 75 34 38.495 -4.495 20.205025
## 76 20 38.495 -18.495 342.065025
## 77 31 38.495 -7.495 56.175025
## 78 39 38.495 0.505 0.255025
## 79 58 38.495 19.505 380.445025
## 80 30 38.495 -8.495 72.165025
## 81 49 38.495 10.505 110.355025
## 82 26 38.495 -12.495 156.125025
## 83 53 38.495 14.505 210.395025
## 84 33 38.495 -5.495 30.195025
## 85 21 38.495 -17.495 306.075025
## 86 48 38.495 9.505 90.345025
## 87 19 38.495 -19.495 380.055025
## 88 28 38.495 -10.495 110.145025
## 89 35 38.495 -3.495 12.215025
## 90 19 38.495 -19.495 380.055025
## 91 31 38.495 -7.495 56.175025
## 92 39 38.495 0.505 0.255025
## 93 45 38.495 6.505 42.315025
## 94 41 38.495 2.505 6.275025
## 95 49 38.495 10.505 110.355025
## 96 44 38.495 5.505 30.305025
## 97 22 38.495 -16.495 272.085025
## 98 54 38.495 15.505 240.405025
## 99 32 38.495 -6.495 42.185025
## 100 60 38.495 21.505 462.465025
## 101 36 38.495 -2.495 6.225025
## 102 36 38.495 -2.495 6.225025
## 103 45 38.495 6.505 42.315025
## 104 38 38.495 -0.495 0.245025
## 105 48 38.495 9.505 90.345025
## 106 21 38.495 -17.495 306.075025
## 107 34 38.495 -4.495 20.205025
## 108 59 38.495 20.505 420.455025
## 109 42 38.495 3.505 12.285025
## 110 41 38.495 2.505 6.275025
## 111 49 38.495 10.505 110.355025
## 112 51 38.495 12.505 156.375025
## 113 47 38.495 8.505 72.335025
## 114 49 38.495 10.505 110.355025
## 115 56 38.495 17.505 306.425025
## 116 28 38.495 -10.495 110.145025
## 117 20 38.495 -18.495 342.065025
## 118 18 38.495 -20.495 420.045025
## 119 33 38.495 -5.495 30.195025
## 120 31 38.495 -7.495 56.175025
## 121 41 38.495 2.505 6.275025
## 122 31 38.495 -7.495 56.175025
## 123 41 38.495 2.505 6.275025
## 124 31 38.495 -7.495 56.175025
## 125 46 38.495 7.505 56.325025
## 126 53 38.495 14.505 210.395025
## 127 30 38.495 -8.495 72.165025
## 128 30 38.495 -8.495 72.165025
## 129 29 38.495 -9.495 90.155025
## 130 43 38.495 4.505 20.295025
## 131 55 38.495 16.505 272.415025
## 132 19 38.495 -19.495 380.055025
## 133 27 38.495 -11.495 132.135025
## 134 40 38.495 1.505 2.265025
## 135 42 38.495 3.505 12.285025
## 136 30 38.495 -8.495 72.165025
## 137 44 38.495 5.505 30.305025
## 138 25 38.495 -13.495 182.115025
## 139 18 38.495 -20.495 420.045025
## 140 31 38.495 -7.495 56.175025
## 141 41 38.495 2.505 6.275025
## 142 22 38.495 -16.495 272.085025
## 143 40 38.495 1.505 2.265025
## 144 20 38.495 -18.495 342.065025
## 145 55 38.495 16.505 272.415025
## 146 25 38.495 -13.495 182.115025
## 147 31 38.495 -7.495 56.175025
## 148 58 38.495 19.505 380.445025
## 149 30 38.495 -8.495 72.165025
## 150 37 38.495 -1.495 2.235025
## 151 56 38.495 17.505 306.425025
## 152 27 38.495 -11.495 132.135025
## 153 58 38.495 19.505 380.445025
## 154 60 38.495 21.505 462.465025
## 155 36 38.495 -2.495 6.225025
## 156 33 38.495 -5.495 30.195025
## 157 44 38.495 5.505 30.305025
## 158 44 38.495 5.505 30.305025
## 159 29 38.495 -9.495 90.155025
## 160 45 38.495 6.505 42.315025
## 161 25 38.495 -13.495 182.115025
## 162 53 38.495 14.505 210.395025
## 163 38 38.495 -0.495 0.245025
## 164 45 38.495 6.505 42.315025
## 165 51 38.495 12.505 156.375025
## 166 48 38.495 9.505 90.345025
## 167 24 38.495 -14.495 210.105025
## 168 41 38.495 2.505 6.275025
## 169 50 38.495 11.505 132.365025
## 170 28 38.495 -10.495 110.145025
## 171 19 38.495 -19.495 380.055025
## 172 26 38.495 -12.495 156.125025
## 173 18 38.495 -20.495 420.045025
## 174 19 38.495 -19.495 380.055025
## 175 22 38.495 -16.495 272.085025
## 176 60 38.495 21.505 462.465025
## 177 22 38.495 -16.495 272.085025
## 178 54 38.495 15.505 240.405025
## 179 35 38.495 -3.495 12.215025
## 180 24 38.495 -14.495 210.105025
## 181 58 38.495 19.505 380.445025
## 182 42 38.495 3.505 12.285025
## 183 43 38.495 4.505 20.295025
## 184 50 38.495 11.505 132.365025
## 185 54 38.495 15.505 240.405025
## 186 41 38.495 2.505 6.275025
## 187 33 38.495 -5.495 30.195025
## 188 43 38.495 4.505 20.295025
## 189 42 38.495 3.505 12.285025
## 190 35 38.495 -3.495 12.215025
## 191 39 38.495 0.505 0.255025
## 192 21 38.495 -17.495 306.075025
## 193 39 38.495 0.505 0.255025
## 194 40 38.495 1.505 2.265025
## 195 53 38.495 14.505 210.395025
## 196 36 38.495 -2.495 6.225025
## 197 35 38.495 -3.495 12.215025
## 198 53 38.495 14.505 210.395025
## 199 25 38.495 -13.495 182.115025
## 200 58 38.495 19.505 380.445025Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 29455.99varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 148.0201Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 148.0201## [1] 22.07879desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.16635## [1] 4.6988084.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3160501CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1568365 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia muestran de forma ordenada un conjunto de datos estadísticos y a cada uno de ellos le asigna una frecuencia que, en pocas palabras, son las veces que se repite un número o dato. En este caso representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 13.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 41.59 que representan el 13.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.495, la desviación es de: 12.1663501.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.96, la desviación es de: 4.6988077.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3160501y el CV de edades2 es de: 0.156836
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.