R pill: Tamaño muestral y error al estimar la media de una población con varianza desconocida

Cuando tenemos una muestra de tamaño \(n\) de una población con varianza desconocida, si la media muestral es \(\bar{X}\) y la cuasidesviación típica es \(S_c\), el intervalo de confianza \(\gamma\) que contiene a la media \(\mu\) de la población es: \(\displaystyle{IC_{\mu}^{\gamma}=\left(\bar{X}-\frac{S_c}{\sqrt{n}}·t_{n-1,\frac{1+\gamma}{2}}\;,\;\bar{X}+\frac{S_c}{\sqrt{n}}·t_{n-1,\frac{1+\gamma}{2}}\right)}\) donde \(t_{n-1,\frac{1+\gamma}{2}}\) es el cuantil de una t de Student con \(n-1\) grados de libertad que deja por debajo una probabilidad de \(\frac{1+\gamma}{2}\).

El valor \(E=\frac{S_c}{\sqrt{n}}·t_{n-1,\frac{1+\gamma}{2}}\) se denomina error o semiamplitud del intervalo de confianza. En el siguiente ejemplo se muestran los errores cometidos al estimar la media poblacional con diferentes tamaños muestrales.

Ejemplo: Fijamos el nivel de confianza gamma, la cuasidesviación Sc y el tamaño muestral máximo n.max, valores para los que queremos calcular el error de cada tamaño muestral hasta n.max.

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gamma <- 0.95   # confidence level
Sc <- 2         # sample standard deviation
n.max <- 200    # maximum sample size > 5
# Error function
E <- function(n, Sc, gamma) {qt((1 + gamma)/2, n - 1) * Sc / sqrt(n)}
# Different sizes
size <- seq(5, n.max, 5)
# Errors by sizes
error <- E(n = size, Sc = Sc, gamma = gamma)
plot(size, error, type = 'o', main = paste0('Relation between error and sample size ','(Sc = ',Sc,', gamma = ',gamma, ')'))

tb <- data.frame(size, error); tb

   size     error
1     5 2.4833280
2    10 1.4307138
3    15 1.1075631
4    20 0.9360288
5    25 0.8255594
6    30 0.7468123
7    35 0.6870240
8    40 0.6396310
9    45 0.6008665
10   50 0.5683937
11   55 0.5406757
12   60 0.5166548
13   65 0.4955757
14   70 0.4768832
15   75 0.4601582
16   80 0.4450782
17   85 0.4313900
18   90 0.4188919
19   95 0.4074208
20  100 0.3968434
21  105 0.3870493
22  110 0.3779464
23  115 0.3694570
24  120 0.3615151
25  125 0.3540644
26  130 0.3470562
27  135 0.3404483
28  140 0.3342040
29  145 0.3282912
30  150 0.3226816
31  155 0.3173500
32  160 0.3122743
33  165 0.3074346
34  170 0.3028132
35  175 0.2983941
36  180 0.2941630
37  185 0.2901069
38  190 0.2862142
39  195 0.2824740
40  200 0.2788768

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