Caso 04 Medidas de dispersion
Humberto Vargas Contreras
2023-02-14
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1212)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 27 26 46 23 30 20 33 26 56 60 21 48 34 20 45 43 55 38 31 38 23 40 51 37 20
## [26] 27 31 40 38 53 30 46 49 48 43 60 35 25 23 20 34 58 19 44 41 56 49 26 26 40
## [51] 21 31 51 19 30 51 35 35 33 36 41 39 27 57 55 20 23 32 45 25 37 42 24 39 24
## [76] 43 24 18 50 53 39 49 48 49 48 54 30 22 18 35 51 44 27 26 18 24 39 31 52 23
## [101] 31 35 19 23 57 52 43 59 45 49 24 26 59 54 29 46 24 38 39 20 55 27 43 46 27
## [126] 37 25 54 50 35 23 18 45 36 38 30 37 29 53 57 47 24 33 52 25 20 46 45 21 45
## [151] 52 28 29 48 28 33 42 44 40 39 46 54 29 27 30 51 47 39 44 55 59 18 37 44 20
## [176] 56 36 18 20 34 25 25 52 33 43 45 33 21 43 45 38 25 55 52 44 45 35 48 56 394.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 23 0.12 11.5 23 11.5
## [22.57,27.33) 34 0.17 17.0 57 28.5
## [27.33,32.08) 18 0.09 9.0 75 37.5
## [32.08,36.83) 19 0.10 9.5 94 47.0
## [36.83,41.59) 25 0.12 12.5 119 59.5
## [41.59,46.34) 30 0.15 15.0 149 74.5
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 169 84.5
## [51.09,55.85) 18 0.09 9.0 187 93.5
## [55.85,60.6) 13 0.06 6.5 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 18 19 20 20 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24
## [26] 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [51] 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35
## [176] 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 38 38 39 39 39 40 40 40 41 41 434.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
tabla.edades2 <- fdt(x = edades2, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,20.666) 4 0.02 2.0 4 2.0
## [20.666,23.511) 16 0.08 8.0 20 10.0
## [23.511,26.357) 31 0.16 15.5 51 25.5
## [26.357,29.202) 42 0.21 21.0 93 46.5
## [29.202,32.048) 45 0.22 22.5 138 69.0
## [32.048,34.893) 30 0.15 15.0 168 84.0
## [34.893,37.739) 21 0.10 10.5 189 94.5
## [37.739,40.584) 8 0.04 4.0 197 98.5
## [40.584,43.43) 3 0.01 1.5 200 100.04.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 37.415## [1] 29.8554.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 27 37.415 -10.415 108.472225
## 2 26 37.415 -11.415 130.302225
## 3 46 37.415 8.585 73.702225
## 4 23 37.415 -14.415 207.792225
## 5 30 37.415 -7.415 54.982225
## 6 20 37.415 -17.415 303.282225
## 7 33 37.415 -4.415 19.492225
## 8 26 37.415 -11.415 130.302225
## 9 56 37.415 18.585 345.402225
## 10 60 37.415 22.585 510.082225
## 11 21 37.415 -16.415 269.452225
## 12 48 37.415 10.585 112.042225
## 13 34 37.415 -3.415 11.662225
## 14 20 37.415 -17.415 303.282225
## 15 45 37.415 7.585 57.532225
## 16 43 37.415 5.585 31.192225
## 17 55 37.415 17.585 309.232225
## 18 38 37.415 0.585 0.342225
## 19 31 37.415 -6.415 41.152225
## 20 38 37.415 0.585 0.342225
## 21 23 37.415 -14.415 207.792225
## 22 40 37.415 2.585 6.682225
## 23 51 37.415 13.585 184.552225
## 24 37 37.415 -0.415 0.172225
## 25 20 37.415 -17.415 303.282225
## 26 27 37.415 -10.415 108.472225
## 27 31 37.415 -6.415 41.152225
## 28 40 37.415 2.585 6.682225
## 29 38 37.415 0.585 0.342225
## 30 53 37.415 15.585 242.892225
## 31 30 37.415 -7.415 54.982225
## 32 46 37.415 8.585 73.702225
## 33 49 37.415 11.585 134.212225
## 34 48 37.415 10.585 112.042225
## 35 43 37.415 5.585 31.192225
## 36 60 37.415 22.585 510.082225
## 37 35 37.415 -2.415 5.832225
## 38 25 37.415 -12.415 154.132225
## 39 23 37.415 -14.415 207.792225
## 40 20 37.415 -17.415 303.282225
## 41 34 37.415 -3.415 11.662225
## 42 58 37.415 20.585 423.742225
## 43 19 37.415 -18.415 339.112225
## 44 44 37.415 6.585 43.362225
## 45 41 37.415 3.585 12.852225
## 46 56 37.415 18.585 345.402225
## 47 49 37.415 11.585 134.212225
## 48 26 37.415 -11.415 130.302225
## 49 26 37.415 -11.415 130.302225
## 50 40 37.415 2.585 6.682225
## 51 21 37.415 -16.415 269.452225
## 52 31 37.415 -6.415 41.152225
## 53 51 37.415 13.585 184.552225
## 54 19 37.415 -18.415 339.112225
## 55 30 37.415 -7.415 54.982225
## 56 51 37.415 13.585 184.552225
## 57 35 37.415 -2.415 5.832225
## 58 35 37.415 -2.415 5.832225
## 59 33 37.415 -4.415 19.492225
## 60 36 37.415 -1.415 2.002225
## 61 41 37.415 3.585 12.852225
## 62 39 37.415 1.585 2.512225
## 63 27 37.415 -10.415 108.472225
## 64 57 37.415 19.585 383.572225
## 65 55 37.415 17.585 309.232225
## 66 20 37.415 -17.415 303.282225
## 67 23 37.415 -14.415 207.792225
## 68 32 37.415 -5.415 29.322225
## 69 45 37.415 7.585 57.532225
## 70 25 37.415 -12.415 154.132225
## 71 37 37.415 -0.415 0.172225
## 72 42 37.415 4.585 21.022225
## 73 24 37.415 -13.415 179.962225
## 74 39 37.415 1.585 2.512225
## 75 24 37.415 -13.415 179.962225
## 76 43 37.415 5.585 31.192225
## 77 24 37.415 -13.415 179.962225
## 78 18 37.415 -19.415 376.942225
## 79 50 37.415 12.585 158.382225
## 80 53 37.415 15.585 242.892225
## 81 39 37.415 1.585 2.512225
## 82 49 37.415 11.585 134.212225
## 83 48 37.415 10.585 112.042225
## 84 49 37.415 11.585 134.212225
## 85 48 37.415 10.585 112.042225
## 86 54 37.415 16.585 275.062225
## 87 30 37.415 -7.415 54.982225
## 88 22 37.415 -15.415 237.622225
## 89 18 37.415 -19.415 376.942225
## 90 35 37.415 -2.415 5.832225
## 91 51 37.415 13.585 184.552225
## 92 44 37.415 6.585 43.362225
## 93 27 37.415 -10.415 108.472225
## 94 26 37.415 -11.415 130.302225
## 95 18 37.415 -19.415 376.942225
## 96 24 37.415 -13.415 179.962225
## 97 39 37.415 1.585 2.512225
## 98 31 37.415 -6.415 41.152225
## 99 52 37.415 14.585 212.722225
## 100 23 37.415 -14.415 207.792225
## 101 31 37.415 -6.415 41.152225
## 102 35 37.415 -2.415 5.832225
## 103 19 37.415 -18.415 339.112225
## 104 23 37.415 -14.415 207.792225
## 105 57 37.415 19.585 383.572225
## 106 52 37.415 14.585 212.722225
## 107 43 37.415 5.585 31.192225
## 108 59 37.415 21.585 465.912225
## 109 45 37.415 7.585 57.532225
## 110 49 37.415 11.585 134.212225
## 111 24 37.415 -13.415 179.962225
## 112 26 37.415 -11.415 130.302225
## 113 59 37.415 21.585 465.912225
## 114 54 37.415 16.585 275.062225
## 115 29 37.415 -8.415 70.812225
## 116 46 37.415 8.585 73.702225
## 117 24 37.415 -13.415 179.962225
## 118 38 37.415 0.585 0.342225
## 119 39 37.415 1.585 2.512225
## 120 20 37.415 -17.415 303.282225
## 121 55 37.415 17.585 309.232225
## 122 27 37.415 -10.415 108.472225
## 123 43 37.415 5.585 31.192225
## 124 46 37.415 8.585 73.702225
## 125 27 37.415 -10.415 108.472225
## 126 37 37.415 -0.415 0.172225
## 127 25 37.415 -12.415 154.132225
## 128 54 37.415 16.585 275.062225
## 129 50 37.415 12.585 158.382225
## 130 35 37.415 -2.415 5.832225
## 131 23 37.415 -14.415 207.792225
## 132 18 37.415 -19.415 376.942225
## 133 45 37.415 7.585 57.532225
## 134 36 37.415 -1.415 2.002225
## 135 38 37.415 0.585 0.342225
## 136 30 37.415 -7.415 54.982225
## 137 37 37.415 -0.415 0.172225
## 138 29 37.415 -8.415 70.812225
## 139 53 37.415 15.585 242.892225
## 140 57 37.415 19.585 383.572225
## 141 47 37.415 9.585 91.872225
## 142 24 37.415 -13.415 179.962225
## 143 33 37.415 -4.415 19.492225
## 144 52 37.415 14.585 212.722225
## 145 25 37.415 -12.415 154.132225
## 146 20 37.415 -17.415 303.282225
## 147 46 37.415 8.585 73.702225
## 148 45 37.415 7.585 57.532225
## 149 21 37.415 -16.415 269.452225
## 150 45 37.415 7.585 57.532225
## 151 52 37.415 14.585 212.722225
## 152 28 37.415 -9.415 88.642225
## 153 29 37.415 -8.415 70.812225
## 154 48 37.415 10.585 112.042225
## 155 28 37.415 -9.415 88.642225
## 156 33 37.415 -4.415 19.492225
## 157 42 37.415 4.585 21.022225
## 158 44 37.415 6.585 43.362225
## 159 40 37.415 2.585 6.682225
## 160 39 37.415 1.585 2.512225
## 161 46 37.415 8.585 73.702225
## 162 54 37.415 16.585 275.062225
## 163 29 37.415 -8.415 70.812225
## 164 27 37.415 -10.415 108.472225
## 165 30 37.415 -7.415 54.982225
## 166 51 37.415 13.585 184.552225
## 167 47 37.415 9.585 91.872225
## 168 39 37.415 1.585 2.512225
## 169 44 37.415 6.585 43.362225
## 170 55 37.415 17.585 309.232225
## 171 59 37.415 21.585 465.912225
## 172 18 37.415 -19.415 376.942225
## 173 37 37.415 -0.415 0.172225
## 174 44 37.415 6.585 43.362225
## 175 20 37.415 -17.415 303.282225
## 176 56 37.415 18.585 345.402225
## 177 36 37.415 -1.415 2.002225
## 178 18 37.415 -19.415 376.942225
## 179 20 37.415 -17.415 303.282225
## 180 34 37.415 -3.415 11.662225
## 181 25 37.415 -12.415 154.132225
## 182 25 37.415 -12.415 154.132225
## 183 52 37.415 14.585 212.722225
## 184 33 37.415 -4.415 19.492225
## 185 43 37.415 5.585 31.192225
## 186 45 37.415 7.585 57.532225
## 187 33 37.415 -4.415 19.492225
## 188 21 37.415 -16.415 269.452225
## 189 43 37.415 5.585 31.192225
## 190 45 37.415 7.585 57.532225
## 191 38 37.415 0.585 0.342225
## 192 25 37.415 -12.415 154.132225
## 193 55 37.415 17.585 309.232225
## 194 52 37.415 14.585 212.722225
## 195 44 37.415 6.585 43.362225
## 196 45 37.415 7.585 57.532225
## 197 35 37.415 -2.415 5.832225
## 198 48 37.415 10.585 112.042225
## 199 56 37.415 18.585 345.402225
## 200 39 37.415 1.585 2.512225Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 28230.56varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 141.8621Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 141.8621## [1] 23.23013desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 11.91059## [1] 4.8197644.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3183372CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16143915 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia muestran las clases y las frecuencias de casos de cada una de estas clases, permitiendo observar los valores relativos y porcentuales de cada una de las frecuencias.
En relacion a edades1 existe un 17% de valores que pertenecen a el rango o intervalo que existe entre 22.57 y 27.33.
Mientras que en edades2 existe un 22.5% de valores que pertenecen a el rango o intervalo que existe entre 29.202 y 32.048.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con relacion a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 37.415, y la desviación es de: 11.9105871.
Con relacion a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.855, y la desviación es de: 4.8197641.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3183372 y el coeficiente de variacion de edades2 es de: 0.1614391
Existe una mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.