Selang Kepercayaan untuk Rataan Satu Populasi

dengan, E: Margin of Error.

Margin of error adalah kemungkinan perbedaan maksimum yang diamati antara rata-rata sampel \(\bar{x}\) dan rata-rata populasi sebenarnya \(\mu\).

\(E=z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

atau

\(E=t_{\alpha/2,df} \frac{s}{\sqrt{n}}\)

Selang kepercayaan 100(1−α)% untuk rata-rata populasi \(\mu\):

1. Untuk ukuran sampel besar dengan \(\sigma\) diketahui

Formula:

\(\bar{x}\pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

2. Untuk ukuran sampel kecil dengan \(\sigma\) tidak diketahui

Formula:

\(\bar{x}\pm t_{\alpha/2,df} \frac{s}{\sqrt{n}}\)

Tabel t dapat didownload melalui link berikut: Click here

Contoh:

Sampel acak dari 12 siswa dari sekolah tertentu memiliki waktu mengetik rata-rata 79,3 kata per menit dengan standar deviasi 7,8 kata per menit. Asumsikan sebaran normal untuk jumlah kata yang diketik per menit, tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata jumlah kata yang diketik oleh semua siswa di sekolah ini. [Selang kepercayaan 95% untuk μ (sampel kecil)]

\(\bar{x}\pm t_{\alpha/2,df} \frac{s}{\sqrt{n}}\)

mean1<-79.3
t_table<-qt(0.975,11,lower.tail = TRUE)
t_table

## [1] 2.200985

s_value<-7.8
n<-12
moe<-t_table*(s_value/sqrt(n))
cat(" Lower", mean1-moe,"\n","Upper:" ,mean1+moe)

##  Lower 74.34412 
##  Upper: 84.25588

Selang Kepercayaan untuk Perbedaan Rataan antara Dua Populasi

Ukuran Sampel besar (n1 > 30 dan n2 > 30)

1. Selang Kepercayaan dengan \(\sigma_{1}\) dan \(\sigma_{2}\) Diketahui

\(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}\pm z_{\alpha/2} \sigma_{\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}}\)

dengan:

2. Selang Kepercayaan dengan \(\sigma_{1}\) dan \(\sigma_{2}\) Tidak Diketahui

\(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}\pm z_{\alpha/2} s_{\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}}\)

dengan:

Contoh:

Bandingkan rata-rata asupan harian produk susu pria dan wanita menggunakan selang kepercayaan 95%. Dapatkah Anda menyimpulkan, berdasarkan selang kepercayaan ini, bahwa ada perbedaan rata-rata asupan harian produk susu produk untuk pria dan wanita?

mean_dif1<-756-762
n1<-50
n2<-50
s1<-35^2
s2<-30^2

z_table<-qnorm(0.975,lower.tail = TRUE)
z_table

## [1] 1.959964

s1_2<-sqrt(s1/n1+s2/n2)
s1_2

## [1] 6.519202

moe<-z_table*s1_2

cat(" Lower", mean_dif1-moe,"\n","Upper:" ,mean_dif1+moe)

##  Lower -18.7774 
##  Upper: 6.777402

Berdasarkan hasil di atas diperoleh selang kepercayaan yang melewati 0, sehingga \(\mu_{1}=\mu_{2}\). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan rata-rata asupan harian produk susu untuk pria dan wanita.

Selang Kepercayaan untuk Proporsi

dengan

\(\hat{p}\) : proporsi pada contoh

n : ukuran contoh

z : skor normal baku sesuai dengan tingkat kepercayaan yang diinginkan

Contoh:

Sebuah survei terhadap 2000 responden UMKM makanan menghasilkan informasi bahwa 1600 responden mengalami penurunan omzet selama masa pandemi.Selang Kepercayaan 95% bagi proporsi UMKM yang mengalami penurunan omzet adalah..

p_hat<-1600/2000
n<-2000
z_table<-qnorm(0.975,lower.tail = TRUE)
z_table

## [1] 1.959964

sp_hat<-sqrt(p_hat*(1-p_hat)/2000)

moe<-z_table*sp_hat

cat(" Lower", p_hat-moe,"\n","Upper:" ,p_hat+moe)

##  Lower 0.7824695 
##  Upper: 0.8175305

Komponen dalam Pengujian Hipotesis

Penentuan Kesimpulan

Tingkat signifikansi yang biasa digunakan α = 0.01, α = 0.05, α = 0.10.

1. Berdasarkan selang kepercayaan

   

2. Berdasarkan daerah penolakan H0 (using t-table/z-table)

   

3. Berdasarkan p-value (Reject H0 if \(p-value < \alpha\))

   

Menentukan P-value

Menggunakan fungsi ‘pnorm’ pada R.

Contoh:

1. Nilai statistik uji untuk uji satu sisi (sisi kanan) adalah z = 1.56. Tentukan p-value.

pvalue<-pnorm(1.56, lower.tail = FALSE)
pvalue

## [1] 0.05937994

2. Nilai statistik uji untuk uji satu sisi (sisi kiri) z = -2.33. Tentukan p-value.

pvalue<-pnorm(-2.33, lower.tail = TRUE)
pvalue

## [1] 0.009903076

3. Nilai statistik uji untuk uji dua sisi adalah z = -3.03. Tentukan p-value.

pvalue<-2*pnorm(-3.03, lower.tail = TRUE)
pvalue

## [1] 0.002445537

Jenis Uji Hipotesis

1. Test for a Population Mean

2. Test for Difference between Two Population Means (Independent/Dependent Samples)

3. Test for a Population Proportion

4. Test for Difference between Two Population Proportions