Caso 4. Medidas de dispersión
Farid Hassany Alba Monrreal
14/02/2023
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(5479)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 23 32 35 39 29 49 46 47 21 27 31 26 24 40 40 26 40 18 56 58 56 34 42 40 33
## [26] 32 44 53 46 50 55 43 43 27 56 41 50 28 26 44 24 36 44 57 28 41 57 45 56 58
## [51] 29 41 32 46 25 38 48 56 21 24 27 58 50 57 18 58 37 51 35 29 55 27 21 59 45
## [76] 36 33 32 25 31 53 46 48 37 24 59 48 46 50 31 32 52 58 28 44 23 59 20 20 49
## [101] 19 55 33 37 59 20 25 55 59 36 32 42 34 22 58 28 46 32 33 54 55 56 59 53 50
## [126] 27 33 25 50 50 43 22 48 34 37 57 42 24 19 33 24 46 39 46 29 57 47 28 43 24
## [151] 56 52 31 30 33 22 33 41 58 54 33 25 52 53 30 25 46 39 52 47 21 24 47 48 21
## [176] 20 54 59 33 45 50 32 44 20 21 50 56 53 59 53 28 18 49 45 48 40 56 33 48 224.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.555556tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.461) 20 0.10 10.0 20 10.0
## [22.461,27.102) 24 0.12 12.0 44 22.0
## [27.102,31.743) 16 0.08 8.0 60 30.0
## [31.743,36.384) 27 0.14 13.5 87 43.5
## [36.384,41.026) 17 0.09 8.5 104 52.0
## [41.026,45.667) 16 0.08 8.0 120 60.0
## [45.667,50.308) 32 0.16 16.0 152 76.0
## [50.308,54.949) 14 0.07 7.0 166 83.0
## [54.949,59.59) 34 0.17 17.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 18 19 19 20 21 21 21 21 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [51] 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [101] 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31
## [126] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [151] 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35
## [176] 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 39 39 40 40 41 41 424.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.775## [1] 29.554.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 23 39.775 -16.775 281.400625
## 2 32 39.775 -7.775 60.450625
## 3 35 39.775 -4.775 22.800625
## 4 39 39.775 -0.775 0.600625
## 5 29 39.775 -10.775 116.100625
## 6 49 39.775 9.225 85.100625
## 7 46 39.775 6.225 38.750625
## 8 47 39.775 7.225 52.200625
## 9 21 39.775 -18.775 352.500625
## 10 27 39.775 -12.775 163.200625
## 11 31 39.775 -8.775 77.000625
## 12 26 39.775 -13.775 189.750625
## 13 24 39.775 -15.775 248.850625
## 14 40 39.775 0.225 0.050625
## 15 40 39.775 0.225 0.050625
## 16 26 39.775 -13.775 189.750625
## 17 40 39.775 0.225 0.050625
## 18 18 39.775 -21.775 474.150625
## 19 56 39.775 16.225 263.250625
## 20 58 39.775 18.225 332.150625
## 21 56 39.775 16.225 263.250625
## 22 34 39.775 -5.775 33.350625
## 23 42 39.775 2.225 4.950625
## 24 40 39.775 0.225 0.050625
## 25 33 39.775 -6.775 45.900625
## 26 32 39.775 -7.775 60.450625
## 27 44 39.775 4.225 17.850625
## 28 53 39.775 13.225 174.900625
## 29 46 39.775 6.225 38.750625
## 30 50 39.775 10.225 104.550625
## 31 55 39.775 15.225 231.800625
## 32 43 39.775 3.225 10.400625
## 33 43 39.775 3.225 10.400625
## 34 27 39.775 -12.775 163.200625
## 35 56 39.775 16.225 263.250625
## 36 41 39.775 1.225 1.500625
## 37 50 39.775 10.225 104.550625
## 38 28 39.775 -11.775 138.650625
## 39 26 39.775 -13.775 189.750625
## 40 44 39.775 4.225 17.850625
## 41 24 39.775 -15.775 248.850625
## 42 36 39.775 -3.775 14.250625
## 43 44 39.775 4.225 17.850625
## 44 57 39.775 17.225 296.700625
## 45 28 39.775 -11.775 138.650625
## 46 41 39.775 1.225 1.500625
## 47 57 39.775 17.225 296.700625
## 48 45 39.775 5.225 27.300625
## 49 56 39.775 16.225 263.250625
## 50 58 39.775 18.225 332.150625
## 51 29 39.775 -10.775 116.100625
## 52 41 39.775 1.225 1.500625
## 53 32 39.775 -7.775 60.450625
## 54 46 39.775 6.225 38.750625
## 55 25 39.775 -14.775 218.300625
## 56 38 39.775 -1.775 3.150625
## 57 48 39.775 8.225 67.650625
## 58 56 39.775 16.225 263.250625
## 59 21 39.775 -18.775 352.500625
## 60 24 39.775 -15.775 248.850625
## 61 27 39.775 -12.775 163.200625
## 62 58 39.775 18.225 332.150625
## 63 50 39.775 10.225 104.550625
## 64 57 39.775 17.225 296.700625
## 65 18 39.775 -21.775 474.150625
## 66 58 39.775 18.225 332.150625
## 67 37 39.775 -2.775 7.700625
## 68 51 39.775 11.225 126.000625
## 69 35 39.775 -4.775 22.800625
## 70 29 39.775 -10.775 116.100625
## 71 55 39.775 15.225 231.800625
## 72 27 39.775 -12.775 163.200625
## 73 21 39.775 -18.775 352.500625
## 74 59 39.775 19.225 369.600625
## 75 45 39.775 5.225 27.300625
## 76 36 39.775 -3.775 14.250625
## 77 33 39.775 -6.775 45.900625
## 78 32 39.775 -7.775 60.450625
## 79 25 39.775 -14.775 218.300625
## 80 31 39.775 -8.775 77.000625
## 81 53 39.775 13.225 174.900625
## 82 46 39.775 6.225 38.750625
## 83 48 39.775 8.225 67.650625
## 84 37 39.775 -2.775 7.700625
## 85 24 39.775 -15.775 248.850625
## 86 59 39.775 19.225 369.600625
## 87 48 39.775 8.225 67.650625
## 88 46 39.775 6.225 38.750625
## 89 50 39.775 10.225 104.550625
## 90 31 39.775 -8.775 77.000625
## 91 32 39.775 -7.775 60.450625
## 92 52 39.775 12.225 149.450625
## 93 58 39.775 18.225 332.150625
## 94 28 39.775 -11.775 138.650625
## 95 44 39.775 4.225 17.850625
## 96 23 39.775 -16.775 281.400625
## 97 59 39.775 19.225 369.600625
## 98 20 39.775 -19.775 391.050625
## 99 20 39.775 -19.775 391.050625
## 100 49 39.775 9.225 85.100625
## 101 19 39.775 -20.775 431.600625
## 102 55 39.775 15.225 231.800625
## 103 33 39.775 -6.775 45.900625
## 104 37 39.775 -2.775 7.700625
## 105 59 39.775 19.225 369.600625
## 106 20 39.775 -19.775 391.050625
## 107 25 39.775 -14.775 218.300625
## 108 55 39.775 15.225 231.800625
## 109 59 39.775 19.225 369.600625
## 110 36 39.775 -3.775 14.250625
## 111 32 39.775 -7.775 60.450625
## 112 42 39.775 2.225 4.950625
## 113 34 39.775 -5.775 33.350625
## 114 22 39.775 -17.775 315.950625
## 115 58 39.775 18.225 332.150625
## 116 28 39.775 -11.775 138.650625
## 117 46 39.775 6.225 38.750625
## 118 32 39.775 -7.775 60.450625
## 119 33 39.775 -6.775 45.900625
## 120 54 39.775 14.225 202.350625
## 121 55 39.775 15.225 231.800625
## 122 56 39.775 16.225 263.250625
## 123 59 39.775 19.225 369.600625
## 124 53 39.775 13.225 174.900625
## 125 50 39.775 10.225 104.550625
## 126 27 39.775 -12.775 163.200625
## 127 33 39.775 -6.775 45.900625
## 128 25 39.775 -14.775 218.300625
## 129 50 39.775 10.225 104.550625
## 130 50 39.775 10.225 104.550625
## 131 43 39.775 3.225 10.400625
## 132 22 39.775 -17.775 315.950625
## 133 48 39.775 8.225 67.650625
## 134 34 39.775 -5.775 33.350625
## 135 37 39.775 -2.775 7.700625
## 136 57 39.775 17.225 296.700625
## 137 42 39.775 2.225 4.950625
## 138 24 39.775 -15.775 248.850625
## 139 19 39.775 -20.775 431.600625
## 140 33 39.775 -6.775 45.900625
## 141 24 39.775 -15.775 248.850625
## 142 46 39.775 6.225 38.750625
## 143 39 39.775 -0.775 0.600625
## 144 46 39.775 6.225 38.750625
## 145 29 39.775 -10.775 116.100625
## 146 57 39.775 17.225 296.700625
## 147 47 39.775 7.225 52.200625
## 148 28 39.775 -11.775 138.650625
## 149 43 39.775 3.225 10.400625
## 150 24 39.775 -15.775 248.850625
## 151 56 39.775 16.225 263.250625
## 152 52 39.775 12.225 149.450625
## 153 31 39.775 -8.775 77.000625
## 154 30 39.775 -9.775 95.550625
## 155 33 39.775 -6.775 45.900625
## 156 22 39.775 -17.775 315.950625
## 157 33 39.775 -6.775 45.900625
## 158 41 39.775 1.225 1.500625
## 159 58 39.775 18.225 332.150625
## 160 54 39.775 14.225 202.350625
## 161 33 39.775 -6.775 45.900625
## 162 25 39.775 -14.775 218.300625
## 163 52 39.775 12.225 149.450625
## 164 53 39.775 13.225 174.900625
## 165 30 39.775 -9.775 95.550625
## 166 25 39.775 -14.775 218.300625
## 167 46 39.775 6.225 38.750625
## 168 39 39.775 -0.775 0.600625
## 169 52 39.775 12.225 149.450625
## 170 47 39.775 7.225 52.200625
## 171 21 39.775 -18.775 352.500625
## 172 24 39.775 -15.775 248.850625
## 173 47 39.775 7.225 52.200625
## 174 48 39.775 8.225 67.650625
## 175 21 39.775 -18.775 352.500625
## 176 20 39.775 -19.775 391.050625
## 177 54 39.775 14.225 202.350625
## 178 59 39.775 19.225 369.600625
## 179 33 39.775 -6.775 45.900625
## 180 45 39.775 5.225 27.300625
## 181 50 39.775 10.225 104.550625
## 182 32 39.775 -7.775 60.450625
## 183 44 39.775 4.225 17.850625
## 184 20 39.775 -19.775 391.050625
## 185 21 39.775 -18.775 352.500625
## 186 50 39.775 10.225 104.550625
## 187 56 39.775 16.225 263.250625
## 188 53 39.775 13.225 174.900625
## 189 59 39.775 19.225 369.600625
## 190 53 39.775 13.225 174.900625
## 191 28 39.775 -11.775 138.650625
## 192 18 39.775 -21.775 474.150625
## 193 49 39.775 9.225 85.100625
## 194 45 39.775 5.225 27.300625
## 195 48 39.775 8.225 67.650625
## 196 40 39.775 0.225 0.050625
## 197 56 39.775 16.225 263.250625
## 198 33 39.775 -6.775 45.900625
## 199 48 39.775 8.225 67.650625
## 200 22 39.775 -17.775 315.950625Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 31038.88varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 155.9742Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 155.9742## [1] 23.04271desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.48896## [1] 4.8002834.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3139903CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16244615 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 39.775, la desviación es de: 12.488965.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.55, la desviación es de: 4.8002827.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3139903y el CV de edades2 es de: 0.1624461
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
Despues de estar viendo los trabajos que se pueden hacer en r studio e llegado a la conclusion de que utilizar esta herramienta es y sera algo indispensable para poder realizar trabajos de una forma mas sencilla y eficaz ya que con esta aplicacion podemos hacer distintos tipos de graficas, histogramas y otras cosas teniendo un margen de error practicamente nulo y esto ayudando a llevar las actividades de manera mas sencilla.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.