caso04 Medidas de dispersión
Jesé Arath Bonilla Chaparro
2023-02-15
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016).
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016)
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1101)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 30 42 50 44 20 23 57 42 54 19 43 50 22 28 43 27 29 40 29 26 42 46 52 48 53
## [26] 19 58 51 58 24 28 60 33 58 48 57 59 41 24 50 56 20 53 57 26 55 37 31 44 18
## [51] 22 39 58 45 40 52 20 54 52 38 48 27 58 37 60 33 60 23 18 47 43 41 20 54 43
## [76] 45 30 52 55 60 53 53 60 59 49 37 22 31 60 55 43 30 38 36 18 54 38 47 43 27
## [101] 18 52 37 36 29 54 54 31 45 55 18 55 27 37 37 18 20 54 36 57 21 60 24 23 44
## [126] 36 44 58 28 21 20 53 23 49 46 45 54 43 49 22 52 33 24 56 60 19 40 20 32 35
## [151] 48 55 42 33 42 20 41 34 26 28 52 46 34 50 45 28 48 38 46 34 50 45 50 23 60
## [176] 55 36 19 55 58 47 53 29 34 51 44 40 51 33 46 37 21 19 56 57 19 44 26 23 344.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 27 0.14 13.5 27 13.5
## [22.57,27.33) 18 0.09 9.0 45 22.5
## [27.33,32.08) 16 0.08 8.0 61 30.5
## [32.08,36.83) 16 0.08 8.0 77 38.5
## [36.83,41.59) 19 0.10 9.5 96 48.0
## [41.59,46.34) 29 0.14 14.5 125 62.5
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 145 72.5
## [51.09,55.85) 29 0.14 14.5 174 87.0
## [55.85,60.6) 26 0.13 13.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 18 20 20 20 20 21 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25 25
## [26] 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28
## [51] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [76] 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34
## [151] 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36
## [176] 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 39 40 40 40 41 43 434.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 40.3## [1] 30.464.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 30 40.3 -10.3 106.09
## 2 42 40.3 1.7 2.89
## 3 50 40.3 9.7 94.09
## 4 44 40.3 3.7 13.69
## 5 20 40.3 -20.3 412.09
## 6 23 40.3 -17.3 299.29
## 7 57 40.3 16.7 278.89
## 8 42 40.3 1.7 2.89
## 9 54 40.3 13.7 187.69
## 10 19 40.3 -21.3 453.69
## 11 43 40.3 2.7 7.29
## 12 50 40.3 9.7 94.09
## 13 22 40.3 -18.3 334.89
## 14 28 40.3 -12.3 151.29
## 15 43 40.3 2.7 7.29
## 16 27 40.3 -13.3 176.89
## 17 29 40.3 -11.3 127.69
## 18 40 40.3 -0.3 0.09
## 19 29 40.3 -11.3 127.69
## 20 26 40.3 -14.3 204.49
## 21 42 40.3 1.7 2.89
## 22 46 40.3 5.7 32.49
## 23 52 40.3 11.7 136.89
## 24 48 40.3 7.7 59.29
## 25 53 40.3 12.7 161.29
## 26 19 40.3 -21.3 453.69
## 27 58 40.3 17.7 313.29
## 28 51 40.3 10.7 114.49
## 29 58 40.3 17.7 313.29
## 30 24 40.3 -16.3 265.69
## 31 28 40.3 -12.3 151.29
## 32 60 40.3 19.7 388.09
## 33 33 40.3 -7.3 53.29
## 34 58 40.3 17.7 313.29
## 35 48 40.3 7.7 59.29
## 36 57 40.3 16.7 278.89
## 37 59 40.3 18.7 349.69
## 38 41 40.3 0.7 0.49
## 39 24 40.3 -16.3 265.69
## 40 50 40.3 9.7 94.09
## 41 56 40.3 15.7 246.49
## 42 20 40.3 -20.3 412.09
## 43 53 40.3 12.7 161.29
## 44 57 40.3 16.7 278.89
## 45 26 40.3 -14.3 204.49
## 46 55 40.3 14.7 216.09
## 47 37 40.3 -3.3 10.89
## 48 31 40.3 -9.3 86.49
## 49 44 40.3 3.7 13.69
## 50 18 40.3 -22.3 497.29
## 51 22 40.3 -18.3 334.89
## 52 39 40.3 -1.3 1.69
## 53 58 40.3 17.7 313.29
## 54 45 40.3 4.7 22.09
## 55 40 40.3 -0.3 0.09
## 56 52 40.3 11.7 136.89
## 57 20 40.3 -20.3 412.09
## 58 54 40.3 13.7 187.69
## 59 52 40.3 11.7 136.89
## 60 38 40.3 -2.3 5.29
## 61 48 40.3 7.7 59.29
## 62 27 40.3 -13.3 176.89
## 63 58 40.3 17.7 313.29
## 64 37 40.3 -3.3 10.89
## 65 60 40.3 19.7 388.09
## 66 33 40.3 -7.3 53.29
## 67 60 40.3 19.7 388.09
## 68 23 40.3 -17.3 299.29
## 69 18 40.3 -22.3 497.29
## 70 47 40.3 6.7 44.89
## 71 43 40.3 2.7 7.29
## 72 41 40.3 0.7 0.49
## 73 20 40.3 -20.3 412.09
## 74 54 40.3 13.7 187.69
## 75 43 40.3 2.7 7.29
## 76 45 40.3 4.7 22.09
## 77 30 40.3 -10.3 106.09
## 78 52 40.3 11.7 136.89
## 79 55 40.3 14.7 216.09
## 80 60 40.3 19.7 388.09
## 81 53 40.3 12.7 161.29
## 82 53 40.3 12.7 161.29
## 83 60 40.3 19.7 388.09
## 84 59 40.3 18.7 349.69
## 85 49 40.3 8.7 75.69
## 86 37 40.3 -3.3 10.89
## 87 22 40.3 -18.3 334.89
## 88 31 40.3 -9.3 86.49
## 89 60 40.3 19.7 388.09
## 90 55 40.3 14.7 216.09
## 91 43 40.3 2.7 7.29
## 92 30 40.3 -10.3 106.09
## 93 38 40.3 -2.3 5.29
## 94 36 40.3 -4.3 18.49
## 95 18 40.3 -22.3 497.29
## 96 54 40.3 13.7 187.69
## 97 38 40.3 -2.3 5.29
## 98 47 40.3 6.7 44.89
## 99 43 40.3 2.7 7.29
## 100 27 40.3 -13.3 176.89
## 101 18 40.3 -22.3 497.29
## 102 52 40.3 11.7 136.89
## 103 37 40.3 -3.3 10.89
## 104 36 40.3 -4.3 18.49
## 105 29 40.3 -11.3 127.69
## 106 54 40.3 13.7 187.69
## 107 54 40.3 13.7 187.69
## 108 31 40.3 -9.3 86.49
## 109 45 40.3 4.7 22.09
## 110 55 40.3 14.7 216.09
## 111 18 40.3 -22.3 497.29
## 112 55 40.3 14.7 216.09
## 113 27 40.3 -13.3 176.89
## 114 37 40.3 -3.3 10.89
## 115 37 40.3 -3.3 10.89
## 116 18 40.3 -22.3 497.29
## 117 20 40.3 -20.3 412.09
## 118 54 40.3 13.7 187.69
## 119 36 40.3 -4.3 18.49
## 120 57 40.3 16.7 278.89
## 121 21 40.3 -19.3 372.49
## 122 60 40.3 19.7 388.09
## 123 24 40.3 -16.3 265.69
## 124 23 40.3 -17.3 299.29
## 125 44 40.3 3.7 13.69
## 126 36 40.3 -4.3 18.49
## 127 44 40.3 3.7 13.69
## 128 58 40.3 17.7 313.29
## 129 28 40.3 -12.3 151.29
## 130 21 40.3 -19.3 372.49
## 131 20 40.3 -20.3 412.09
## 132 53 40.3 12.7 161.29
## 133 23 40.3 -17.3 299.29
## 134 49 40.3 8.7 75.69
## 135 46 40.3 5.7 32.49
## 136 45 40.3 4.7 22.09
## 137 54 40.3 13.7 187.69
## 138 43 40.3 2.7 7.29
## 139 49 40.3 8.7 75.69
## 140 22 40.3 -18.3 334.89
## 141 52 40.3 11.7 136.89
## 142 33 40.3 -7.3 53.29
## 143 24 40.3 -16.3 265.69
## 144 56 40.3 15.7 246.49
## 145 60 40.3 19.7 388.09
## 146 19 40.3 -21.3 453.69
## 147 40 40.3 -0.3 0.09
## 148 20 40.3 -20.3 412.09
## 149 32 40.3 -8.3 68.89
## 150 35 40.3 -5.3 28.09
## 151 48 40.3 7.7 59.29
## 152 55 40.3 14.7 216.09
## 153 42 40.3 1.7 2.89
## 154 33 40.3 -7.3 53.29
## 155 42 40.3 1.7 2.89
## 156 20 40.3 -20.3 412.09
## 157 41 40.3 0.7 0.49
## 158 34 40.3 -6.3 39.69
## 159 26 40.3 -14.3 204.49
## 160 28 40.3 -12.3 151.29
## 161 52 40.3 11.7 136.89
## 162 46 40.3 5.7 32.49
## 163 34 40.3 -6.3 39.69
## 164 50 40.3 9.7 94.09
## 165 45 40.3 4.7 22.09
## 166 28 40.3 -12.3 151.29
## 167 48 40.3 7.7 59.29
## 168 38 40.3 -2.3 5.29
## 169 46 40.3 5.7 32.49
## 170 34 40.3 -6.3 39.69
## 171 50 40.3 9.7 94.09
## 172 45 40.3 4.7 22.09
## 173 50 40.3 9.7 94.09
## 174 23 40.3 -17.3 299.29
## 175 60 40.3 19.7 388.09
## 176 55 40.3 14.7 216.09
## 177 36 40.3 -4.3 18.49
## 178 19 40.3 -21.3 453.69
## 179 55 40.3 14.7 216.09
## 180 58 40.3 17.7 313.29
## 181 47 40.3 6.7 44.89
## 182 53 40.3 12.7 161.29
## 183 29 40.3 -11.3 127.69
## 184 34 40.3 -6.3 39.69
## 185 51 40.3 10.7 114.49
## 186 44 40.3 3.7 13.69
## 187 40 40.3 -0.3 0.09
## 188 51 40.3 10.7 114.49
## 189 33 40.3 -7.3 53.29
## 190 46 40.3 5.7 32.49
## 191 37 40.3 -3.3 10.89
## 192 21 40.3 -19.3 372.49
## 193 19 40.3 -21.3 453.69
## 194 56 40.3 15.7 246.49
## 195 57 40.3 16.7 278.89
## 196 19 40.3 -21.3 453.69
## 197 44 40.3 3.7 13.69
## 198 26 40.3 -14.3 204.49
## 199 23 40.3 -17.3 299.29
## 200 34 40.3 -6.3 39.69Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 34128varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 171.4975Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 171.4975## [1] 22.07879desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 13.0957## [1] 4.6988084.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3249555CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.15426165 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias. En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 40.3, la desviación es de: 13.0957049.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.46, la desviación es de: 4.6988077.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3249555y el CV de edades2 es de: 0.1542616
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.