Caso 4. Medidas de dispersión
Emilio Salas Luján
2023-02-15
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1199)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 16:66,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 40 54 23 55 66 46 47 65 51 43 63 51 48 31 62 44 54 56 49 58 39 36 40 55 24
## [26] 32 16 50 42 56 40 30 53 18 40 56 31 39 35 46 46 65 46 45 50 40 31 56 57 39
## [51] 18 19 18 66 32 26 17 30 36 36 17 46 64 40 65 34 27 18 39 44 28 24 50 53 36
## [76] 34 21 26 63 41 63 19 59 57 28 40 17 18 34 36 42 30 18 45 42 50 42 23 16 30
## [101] 20 49 19 59 42 26 53 49 24 65 32 22 19 57 31 66 24 27 57 18 25 41 51 40 52
## [126] 51 51 21 41 64 26 22 50 57 26 58 38 21 17 27 62 64 31 61 34 49 47 41 36 47
## [151] 27 34 54 29 23 35 41 53 56 16 52 49 21 16 37 16 34 40 19 55 20 66 22 57 49
## [176] 44 26 32 59 66 31 63 36 41 38 20 46 30 17 33 17 37 21 28 52 61 39 20 57 664.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 5.555556tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [15.84,21.487) 32 0.16 16.0 32 16.0
## [21.487,27.133) 21 0.10 10.5 53 26.5
## [27.133,32.78) 19 0.10 9.5 72 36.0
## [32.78,38.427) 20 0.10 10.0 92 46.0
## [38.427,44.073) 29 0.14 14.5 121 60.5
## [44.073,49.72) 18 0.09 9.0 139 69.5
## [49.72,55.367) 23 0.12 11.5 162 81.0
## [55.367,61.013) 19 0.10 9.5 181 90.5
## [61.013,66.66) 19 0.10 9.5 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='blue') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 19 19 19 19 20 20 22 22 22 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24
## [26] 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [51] 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36
## [176] 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 39 39 40 41 41 41 424.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='blue') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.735## [1] 30.14.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 40 39.735 0.265 0.070225
## 2 54 39.735 14.265 203.490225
## 3 23 39.735 -16.735 280.060225
## 4 55 39.735 15.265 233.020225
## 5 66 39.735 26.265 689.850225
## 6 46 39.735 6.265 39.250225
## 7 47 39.735 7.265 52.780225
## 8 65 39.735 25.265 638.320225
## 9 51 39.735 11.265 126.900225
## 10 43 39.735 3.265 10.660225
## 11 63 39.735 23.265 541.260225
## 12 51 39.735 11.265 126.900225
## 13 48 39.735 8.265 68.310225
## 14 31 39.735 -8.735 76.300225
## 15 62 39.735 22.265 495.730225
## 16 44 39.735 4.265 18.190225
## 17 54 39.735 14.265 203.490225
## 18 56 39.735 16.265 264.550225
## 19 49 39.735 9.265 85.840225
## 20 58 39.735 18.265 333.610225
## 21 39 39.735 -0.735 0.540225
## 22 36 39.735 -3.735 13.950225
## 23 40 39.735 0.265 0.070225
## 24 55 39.735 15.265 233.020225
## 25 24 39.735 -15.735 247.590225
## 26 32 39.735 -7.735 59.830225
## 27 16 39.735 -23.735 563.350225
## 28 50 39.735 10.265 105.370225
## 29 42 39.735 2.265 5.130225
## 30 56 39.735 16.265 264.550225
## 31 40 39.735 0.265 0.070225
## 32 30 39.735 -9.735 94.770225
## 33 53 39.735 13.265 175.960225
## 34 18 39.735 -21.735 472.410225
## 35 40 39.735 0.265 0.070225
## 36 56 39.735 16.265 264.550225
## 37 31 39.735 -8.735 76.300225
## 38 39 39.735 -0.735 0.540225
## 39 35 39.735 -4.735 22.420225
## 40 46 39.735 6.265 39.250225
## 41 46 39.735 6.265 39.250225
## 42 65 39.735 25.265 638.320225
## 43 46 39.735 6.265 39.250225
## 44 45 39.735 5.265 27.720225
## 45 50 39.735 10.265 105.370225
## 46 40 39.735 0.265 0.070225
## 47 31 39.735 -8.735 76.300225
## 48 56 39.735 16.265 264.550225
## 49 57 39.735 17.265 298.080225
## 50 39 39.735 -0.735 0.540225
## 51 18 39.735 -21.735 472.410225
## 52 19 39.735 -20.735 429.940225
## 53 18 39.735 -21.735 472.410225
## 54 66 39.735 26.265 689.850225
## 55 32 39.735 -7.735 59.830225
## 56 26 39.735 -13.735 188.650225
## 57 17 39.735 -22.735 516.880225
## 58 30 39.735 -9.735 94.770225
## 59 36 39.735 -3.735 13.950225
## 60 36 39.735 -3.735 13.950225
## 61 17 39.735 -22.735 516.880225
## 62 46 39.735 6.265 39.250225
## 63 64 39.735 24.265 588.790225
## 64 40 39.735 0.265 0.070225
## 65 65 39.735 25.265 638.320225
## 66 34 39.735 -5.735 32.890225
## 67 27 39.735 -12.735 162.180225
## 68 18 39.735 -21.735 472.410225
## 69 39 39.735 -0.735 0.540225
## 70 44 39.735 4.265 18.190225
## 71 28 39.735 -11.735 137.710225
## 72 24 39.735 -15.735 247.590225
## 73 50 39.735 10.265 105.370225
## 74 53 39.735 13.265 175.960225
## 75 36 39.735 -3.735 13.950225
## 76 34 39.735 -5.735 32.890225
## 77 21 39.735 -18.735 351.000225
## 78 26 39.735 -13.735 188.650225
## 79 63 39.735 23.265 541.260225
## 80 41 39.735 1.265 1.600225
## 81 63 39.735 23.265 541.260225
## 82 19 39.735 -20.735 429.940225
## 83 59 39.735 19.265 371.140225
## 84 57 39.735 17.265 298.080225
## 85 28 39.735 -11.735 137.710225
## 86 40 39.735 0.265 0.070225
## 87 17 39.735 -22.735 516.880225
## 88 18 39.735 -21.735 472.410225
## 89 34 39.735 -5.735 32.890225
## 90 36 39.735 -3.735 13.950225
## 91 42 39.735 2.265 5.130225
## 92 30 39.735 -9.735 94.770225
## 93 18 39.735 -21.735 472.410225
## 94 45 39.735 5.265 27.720225
## 95 42 39.735 2.265 5.130225
## 96 50 39.735 10.265 105.370225
## 97 42 39.735 2.265 5.130225
## 98 23 39.735 -16.735 280.060225
## 99 16 39.735 -23.735 563.350225
## 100 30 39.735 -9.735 94.770225
## 101 20 39.735 -19.735 389.470225
## 102 49 39.735 9.265 85.840225
## 103 19 39.735 -20.735 429.940225
## 104 59 39.735 19.265 371.140225
## 105 42 39.735 2.265 5.130225
## 106 26 39.735 -13.735 188.650225
## 107 53 39.735 13.265 175.960225
## 108 49 39.735 9.265 85.840225
## 109 24 39.735 -15.735 247.590225
## 110 65 39.735 25.265 638.320225
## 111 32 39.735 -7.735 59.830225
## 112 22 39.735 -17.735 314.530225
## 113 19 39.735 -20.735 429.940225
## 114 57 39.735 17.265 298.080225
## 115 31 39.735 -8.735 76.300225
## 116 66 39.735 26.265 689.850225
## 117 24 39.735 -15.735 247.590225
## 118 27 39.735 -12.735 162.180225
## 119 57 39.735 17.265 298.080225
## 120 18 39.735 -21.735 472.410225
## 121 25 39.735 -14.735 217.120225
## 122 41 39.735 1.265 1.600225
## 123 51 39.735 11.265 126.900225
## 124 40 39.735 0.265 0.070225
## 125 52 39.735 12.265 150.430225
## 126 51 39.735 11.265 126.900225
## 127 51 39.735 11.265 126.900225
## 128 21 39.735 -18.735 351.000225
## 129 41 39.735 1.265 1.600225
## 130 64 39.735 24.265 588.790225
## 131 26 39.735 -13.735 188.650225
## 132 22 39.735 -17.735 314.530225
## 133 50 39.735 10.265 105.370225
## 134 57 39.735 17.265 298.080225
## 135 26 39.735 -13.735 188.650225
## 136 58 39.735 18.265 333.610225
## 137 38 39.735 -1.735 3.010225
## 138 21 39.735 -18.735 351.000225
## 139 17 39.735 -22.735 516.880225
## 140 27 39.735 -12.735 162.180225
## 141 62 39.735 22.265 495.730225
## 142 64 39.735 24.265 588.790225
## 143 31 39.735 -8.735 76.300225
## 144 61 39.735 21.265 452.200225
## 145 34 39.735 -5.735 32.890225
## 146 49 39.735 9.265 85.840225
## 147 47 39.735 7.265 52.780225
## 148 41 39.735 1.265 1.600225
## 149 36 39.735 -3.735 13.950225
## 150 47 39.735 7.265 52.780225
## 151 27 39.735 -12.735 162.180225
## 152 34 39.735 -5.735 32.890225
## 153 54 39.735 14.265 203.490225
## 154 29 39.735 -10.735 115.240225
## 155 23 39.735 -16.735 280.060225
## 156 35 39.735 -4.735 22.420225
## 157 41 39.735 1.265 1.600225
## 158 53 39.735 13.265 175.960225
## 159 56 39.735 16.265 264.550225
## 160 16 39.735 -23.735 563.350225
## 161 52 39.735 12.265 150.430225
## 162 49 39.735 9.265 85.840225
## 163 21 39.735 -18.735 351.000225
## 164 16 39.735 -23.735 563.350225
## 165 37 39.735 -2.735 7.480225
## 166 16 39.735 -23.735 563.350225
## 167 34 39.735 -5.735 32.890225
## 168 40 39.735 0.265 0.070225
## 169 19 39.735 -20.735 429.940225
## 170 55 39.735 15.265 233.020225
## 171 20 39.735 -19.735 389.470225
## 172 66 39.735 26.265 689.850225
## 173 22 39.735 -17.735 314.530225
## 174 57 39.735 17.265 298.080225
## 175 49 39.735 9.265 85.840225
## 176 44 39.735 4.265 18.190225
## 177 26 39.735 -13.735 188.650225
## 178 32 39.735 -7.735 59.830225
## 179 59 39.735 19.265 371.140225
## 180 66 39.735 26.265 689.850225
## 181 31 39.735 -8.735 76.300225
## 182 63 39.735 23.265 541.260225
## 183 36 39.735 -3.735 13.950225
## 184 41 39.735 1.265 1.600225
## 185 38 39.735 -1.735 3.010225
## 186 20 39.735 -19.735 389.470225
## 187 46 39.735 6.265 39.250225
## 188 30 39.735 -9.735 94.770225
## 189 17 39.735 -22.735 516.880225
## 190 33 39.735 -6.735 45.360225
## 191 17 39.735 -22.735 516.880225
## 192 37 39.735 -2.735 7.480225
## 193 21 39.735 -18.735 351.000225
## 194 28 39.735 -11.735 137.710225
## 195 52 39.735 12.265 150.430225
## 196 61 39.735 21.265 452.200225
## 197 39 39.735 -0.735 0.540225
## 198 20 39.735 -19.735 389.470225
## 199 57 39.735 17.265 298.080225
## 200 66 39.735 26.265 689.850225Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 44036.96varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 221.2912Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 221.2912## [1] 24.1809desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 14.87586## [1] 4.9174084.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3743768CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1633695 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia para este conjunto de edades representa las clases en las que se van a organizar y acomodar los datos, y nos ayuda a ver de una forma más gráfica la información y esto, a su vez, nos ayuda a interpretar de manera más rápida la información que estamos manejando y estudiando.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 39.735, la desviación es de: 14.8758607.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.1, la desviación es de: 4.9174083.
Hay que recordar que la desviación media es una medida estadística de la dispersión o variabilidad de un conjunto de datos, que se calcula sumando las diferencias entre cada valor y la media, y luego dividiendo la suma total por el número de valores. En resumen, la desviación media indica cuánto se alejan, en promedio, los valores del conjunto de datos de su media aritmética.
Mientras que la media, es prácticamente lo contrario, ya que analiza una tendencia central.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3743768 y el CV de edades2 es de: 0.163369
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
6 Bibliografía
- Agresti, A., & Franklin, C. (2018). Estadística. Cengage Learning Editores. Bluman, A. G. (2017). Elementary statistics: A step by step approach. McGraw-Hill Education.
- Devore, J. L., & Farnum, N. R. (2013). Applied statistics for engineers and scientists. Cengage Learning.
- McClave, J. T., Benson, P. G., & Sincich, T. (2014). Estadística para administración y economía. Pearson Educación.
- Peck, R., Olsen, C. H., & Devore, J. L. (2015). Introduction to statistics and data analysis. Cengage Learning.