Caso 04 Medidas de dispersión
Hernández Duarte Jonathan Jaciel
2023-02-15
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(22041144)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 26 39 41 54 36 25 27 26 45 32 25 24 33 34 26 58 55 52 31 31 18 56 44 51 42
## [26] 35 21 53 19 36 37 46 38 58 46 39 58 35 45 32 51 19 29 47 33 46 51 32 40 26
## [51] 31 28 47 39 47 28 55 53 29 29 20 37 52 55 20 30 31 24 34 39 34 41 21 50 20
## [76] 44 22 46 47 41 55 32 51 23 27 47 35 40 33 47 25 45 59 21 20 48 46 36 36 32
## [101] 25 45 53 23 20 47 55 25 23 58 36 39 57 31 38 54 51 20 39 58 49 44 28 44 26
## [126] 42 60 48 39 31 52 49 47 54 23 28 60 21 31 22 29 27 52 55 21 45 60 26 46 18
## [151] 45 21 58 40 24 21 60 49 48 18 32 52 46 46 34 29 21 56 26 42 57 47 28 36 41
## [176] 55 23 47 44 27 21 24 22 30 42 37 32 21 38 25 25 34 48 52 41 48 25 38 23 194.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 25 0.12 12.5 25 12.5
## [22.57,27.33) 29 0.14 14.5 54 27.0
## [27.33,32.08) 26 0.13 13.0 80 40.0
## [32.08,36.83) 17 0.09 8.5 97 48.5
## [36.83,41.59) 22 0.11 11.0 119 59.5
## [41.59,46.34) 23 0.12 11.5 142 71.0
## [46.34,51.09) 24 0.12 12.0 166 83.0
## [51.09,55.85) 19 0.10 9.5 185 92.5
## [55.85,60.6) 15 0.07 7.5 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 20 20 20 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 25 25 25
## [26] 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29
## [76] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34
## [151] 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36
## [176] 36 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 40 40 40 41 42 454.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 37.735## [1] 30.4254.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 26 37.735 -11.735 137.710225
## 2 39 37.735 1.265 1.600225
## 3 41 37.735 3.265 10.660225
## 4 54 37.735 16.265 264.550225
## 5 36 37.735 -1.735 3.010225
## 6 25 37.735 -12.735 162.180225
## 7 27 37.735 -10.735 115.240225
## 8 26 37.735 -11.735 137.710225
## 9 45 37.735 7.265 52.780225
## 10 32 37.735 -5.735 32.890225
## 11 25 37.735 -12.735 162.180225
## 12 24 37.735 -13.735 188.650225
## 13 33 37.735 -4.735 22.420225
## 14 34 37.735 -3.735 13.950225
## 15 26 37.735 -11.735 137.710225
## 16 58 37.735 20.265 410.670225
## 17 55 37.735 17.265 298.080225
## 18 52 37.735 14.265 203.490225
## 19 31 37.735 -6.735 45.360225
## 20 31 37.735 -6.735 45.360225
## 21 18 37.735 -19.735 389.470225
## 22 56 37.735 18.265 333.610225
## 23 44 37.735 6.265 39.250225
## 24 51 37.735 13.265 175.960225
## 25 42 37.735 4.265 18.190225
## 26 35 37.735 -2.735 7.480225
## 27 21 37.735 -16.735 280.060225
## 28 53 37.735 15.265 233.020225
## 29 19 37.735 -18.735 351.000225
## 30 36 37.735 -1.735 3.010225
## 31 37 37.735 -0.735 0.540225
## 32 46 37.735 8.265 68.310225
## 33 38 37.735 0.265 0.070225
## 34 58 37.735 20.265 410.670225
## 35 46 37.735 8.265 68.310225
## 36 39 37.735 1.265 1.600225
## 37 58 37.735 20.265 410.670225
## 38 35 37.735 -2.735 7.480225
## 39 45 37.735 7.265 52.780225
## 40 32 37.735 -5.735 32.890225
## 41 51 37.735 13.265 175.960225
## 42 19 37.735 -18.735 351.000225
## 43 29 37.735 -8.735 76.300225
## 44 47 37.735 9.265 85.840225
## 45 33 37.735 -4.735 22.420225
## 46 46 37.735 8.265 68.310225
## 47 51 37.735 13.265 175.960225
## 48 32 37.735 -5.735 32.890225
## 49 40 37.735 2.265 5.130225
## 50 26 37.735 -11.735 137.710225
## 51 31 37.735 -6.735 45.360225
## 52 28 37.735 -9.735 94.770225
## 53 47 37.735 9.265 85.840225
## 54 39 37.735 1.265 1.600225
## 55 47 37.735 9.265 85.840225
## 56 28 37.735 -9.735 94.770225
## 57 55 37.735 17.265 298.080225
## 58 53 37.735 15.265 233.020225
## 59 29 37.735 -8.735 76.300225
## 60 29 37.735 -8.735 76.300225
## 61 20 37.735 -17.735 314.530225
## 62 37 37.735 -0.735 0.540225
## 63 52 37.735 14.265 203.490225
## 64 55 37.735 17.265 298.080225
## 65 20 37.735 -17.735 314.530225
## 66 30 37.735 -7.735 59.830225
## 67 31 37.735 -6.735 45.360225
## 68 24 37.735 -13.735 188.650225
## 69 34 37.735 -3.735 13.950225
## 70 39 37.735 1.265 1.600225
## 71 34 37.735 -3.735 13.950225
## 72 41 37.735 3.265 10.660225
## 73 21 37.735 -16.735 280.060225
## 74 50 37.735 12.265 150.430225
## 75 20 37.735 -17.735 314.530225
## 76 44 37.735 6.265 39.250225
## 77 22 37.735 -15.735 247.590225
## 78 46 37.735 8.265 68.310225
## 79 47 37.735 9.265 85.840225
## 80 41 37.735 3.265 10.660225
## 81 55 37.735 17.265 298.080225
## 82 32 37.735 -5.735 32.890225
## 83 51 37.735 13.265 175.960225
## 84 23 37.735 -14.735 217.120225
## 85 27 37.735 -10.735 115.240225
## 86 47 37.735 9.265 85.840225
## 87 35 37.735 -2.735 7.480225
## 88 40 37.735 2.265 5.130225
## 89 33 37.735 -4.735 22.420225
## 90 47 37.735 9.265 85.840225
## 91 25 37.735 -12.735 162.180225
## 92 45 37.735 7.265 52.780225
## 93 59 37.735 21.265 452.200225
## 94 21 37.735 -16.735 280.060225
## 95 20 37.735 -17.735 314.530225
## 96 48 37.735 10.265 105.370225
## 97 46 37.735 8.265 68.310225
## 98 36 37.735 -1.735 3.010225
## 99 36 37.735 -1.735 3.010225
## 100 32 37.735 -5.735 32.890225
## 101 25 37.735 -12.735 162.180225
## 102 45 37.735 7.265 52.780225
## 103 53 37.735 15.265 233.020225
## 104 23 37.735 -14.735 217.120225
## 105 20 37.735 -17.735 314.530225
## 106 47 37.735 9.265 85.840225
## 107 55 37.735 17.265 298.080225
## 108 25 37.735 -12.735 162.180225
## 109 23 37.735 -14.735 217.120225
## 110 58 37.735 20.265 410.670225
## 111 36 37.735 -1.735 3.010225
## 112 39 37.735 1.265 1.600225
## 113 57 37.735 19.265 371.140225
## 114 31 37.735 -6.735 45.360225
## 115 38 37.735 0.265 0.070225
## 116 54 37.735 16.265 264.550225
## 117 51 37.735 13.265 175.960225
## 118 20 37.735 -17.735 314.530225
## 119 39 37.735 1.265 1.600225
## 120 58 37.735 20.265 410.670225
## 121 49 37.735 11.265 126.900225
## 122 44 37.735 6.265 39.250225
## 123 28 37.735 -9.735 94.770225
## 124 44 37.735 6.265 39.250225
## 125 26 37.735 -11.735 137.710225
## 126 42 37.735 4.265 18.190225
## 127 60 37.735 22.265 495.730225
## 128 48 37.735 10.265 105.370225
## 129 39 37.735 1.265 1.600225
## 130 31 37.735 -6.735 45.360225
## 131 52 37.735 14.265 203.490225
## 132 49 37.735 11.265 126.900225
## 133 47 37.735 9.265 85.840225
## 134 54 37.735 16.265 264.550225
## 135 23 37.735 -14.735 217.120225
## 136 28 37.735 -9.735 94.770225
## 137 60 37.735 22.265 495.730225
## 138 21 37.735 -16.735 280.060225
## 139 31 37.735 -6.735 45.360225
## 140 22 37.735 -15.735 247.590225
## 141 29 37.735 -8.735 76.300225
## 142 27 37.735 -10.735 115.240225
## 143 52 37.735 14.265 203.490225
## 144 55 37.735 17.265 298.080225
## 145 21 37.735 -16.735 280.060225
## 146 45 37.735 7.265 52.780225
## 147 60 37.735 22.265 495.730225
## 148 26 37.735 -11.735 137.710225
## 149 46 37.735 8.265 68.310225
## 150 18 37.735 -19.735 389.470225
## 151 45 37.735 7.265 52.780225
## 152 21 37.735 -16.735 280.060225
## 153 58 37.735 20.265 410.670225
## 154 40 37.735 2.265 5.130225
## 155 24 37.735 -13.735 188.650225
## 156 21 37.735 -16.735 280.060225
## 157 60 37.735 22.265 495.730225
## 158 49 37.735 11.265 126.900225
## 159 48 37.735 10.265 105.370225
## 160 18 37.735 -19.735 389.470225
## 161 32 37.735 -5.735 32.890225
## 162 52 37.735 14.265 203.490225
## 163 46 37.735 8.265 68.310225
## 164 46 37.735 8.265 68.310225
## 165 34 37.735 -3.735 13.950225
## 166 29 37.735 -8.735 76.300225
## 167 21 37.735 -16.735 280.060225
## 168 56 37.735 18.265 333.610225
## 169 26 37.735 -11.735 137.710225
## 170 42 37.735 4.265 18.190225
## 171 57 37.735 19.265 371.140225
## 172 47 37.735 9.265 85.840225
## 173 28 37.735 -9.735 94.770225
## 174 36 37.735 -1.735 3.010225
## 175 41 37.735 3.265 10.660225
## 176 55 37.735 17.265 298.080225
## 177 23 37.735 -14.735 217.120225
## 178 47 37.735 9.265 85.840225
## 179 44 37.735 6.265 39.250225
## 180 27 37.735 -10.735 115.240225
## 181 21 37.735 -16.735 280.060225
## 182 24 37.735 -13.735 188.650225
## 183 22 37.735 -15.735 247.590225
## 184 30 37.735 -7.735 59.830225
## 185 42 37.735 4.265 18.190225
## 186 37 37.735 -0.735 0.540225
## 187 32 37.735 -5.735 32.890225
## 188 21 37.735 -16.735 280.060225
## 189 38 37.735 0.265 0.070225
## 190 25 37.735 -12.735 162.180225
## 191 25 37.735 -12.735 162.180225
## 192 34 37.735 -3.735 13.950225
## 193 48 37.735 10.265 105.370225
## 194 52 37.735 14.265 203.490225
## 195 41 37.735 3.265 10.660225
## 196 48 37.735 10.265 105.370225
## 197 25 37.735 -12.735 162.180225
## 198 38 37.735 0.265 0.070225
## 199 23 37.735 -14.735 217.120225
## 200 19 37.735 -18.735 351.000225Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 29250.95varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 146.9897Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 146.9897## [1] 24.33606desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.12393## [1] 4.9331594.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3212914CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16214165 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 14.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 22.57 y 27.33.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 12.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 37.735, la desviación es de: 12.1239319.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.425, la desviación es de: 4.9331588.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3212914y el CV de edades2 es de: 0.1621416
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.