Caso 04: Medidas de dispersión
Victoria Bueno Mijares
2023-02-13
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1104)Se generan 170 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 170
edades1 <- sample(x = 21:75,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 27 72 22 74 25 30 67 41 73 66 21 40 57 52 47 67 47 45 60 70 74 69 52 42 63
## [26] 51 42 54 71 64 27 34 49 24 50 74 48 75 62 25 54 21 61 22 45 57 65 71 59 63
## [51] 55 39 25 37 27 72 57 66 59 73 53 47 56 50 52 22 29 75 72 67 25 52 68 26 25
## [76] 32 25 63 63 49 61 41 66 74 25 51 24 55 24 35 37 59 55 33 23 29 61 68 39 50
## [101] 33 27 62 46 22 50 23 56 41 26 51 36 49 25 33 41 67 55 47 53 30 43 63 22 49
## [126] 32 74 70 64 23 69 27 24 37 36 28 57 21 45 50 51 73 25 26 66 37 39 32 58 75
## [151] 44 47 71 42 33 58 54 71 70 53 55 25 30 31 25 50 31 63 56 554.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=170\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 8La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 6.75tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [20.79,26.897) 29 0.17 17.06 29 17.06
## [26.897,33.003) 20 0.12 11.76 49 28.82
## [33.003,39.11) 11 0.06 6.47 60 35.29
## [39.11,45.217) 13 0.08 7.65 73 42.94
## [45.217,51.323) 21 0.12 12.35 94 55.29
## [51.323,57.43) 23 0.14 13.53 117 68.82
## [57.43,63.537) 17 0.10 10.00 134 78.82
## [63.537,69.643) 15 0.09 8.82 149 87.65
## [69.643,75.75) 21 0.12 12.35 170 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 18 20 21 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25
## [26] 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29
## [76] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33
## [126] 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35
## [151] 35 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 41 414.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 47.61765## [1] 29.758824.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 27 47.61765 -20.6176471 425.0873702
## 2 72 47.61765 24.3823529 594.4991349
## 3 22 47.61765 -25.6176471 656.2638408
## 4 74 47.61765 26.3823529 696.0285467
## 5 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 6 30 47.61765 -17.6176471 310.3814879
## 7 67 47.61765 19.3823529 375.6756055
## 8 41 47.61765 -6.6176471 43.7932526
## 9 73 47.61765 25.3823529 644.2638408
## 10 66 47.61765 18.3823529 337.9108997
## 11 21 47.61765 -26.6176471 708.4991349
## 12 40 47.61765 -7.6176471 58.0285467
## 13 57 47.61765 9.3823529 88.0285467
## 14 52 47.61765 4.3823529 19.2050173
## 15 47 47.61765 -0.6176471 0.3814879
## 16 67 47.61765 19.3823529 375.6756055
## 17 47 47.61765 -0.6176471 0.3814879
## 18 45 47.61765 -2.6176471 6.8520761
## 19 60 47.61765 12.3823529 153.3226644
## 20 70 47.61765 22.3823529 500.9697232
## 21 74 47.61765 26.3823529 696.0285467
## 22 69 47.61765 21.3823529 457.2050173
## 23 52 47.61765 4.3823529 19.2050173
## 24 42 47.61765 -5.6176471 31.5579585
## 25 63 47.61765 15.3823529 236.6167820
## 26 51 47.61765 3.3823529 11.4403114
## 27 42 47.61765 -5.6176471 31.5579585
## 28 54 47.61765 6.3823529 40.7344291
## 29 71 47.61765 23.3823529 546.7344291
## 30 64 47.61765 16.3823529 268.3814879
## 31 27 47.61765 -20.6176471 425.0873702
## 32 34 47.61765 -13.6176471 185.4403114
## 33 49 47.61765 1.3823529 1.9108997
## 34 24 47.61765 -23.6176471 557.7932526
## 35 50 47.61765 2.3823529 5.6756055
## 36 74 47.61765 26.3823529 696.0285467
## 37 48 47.61765 0.3823529 0.1461938
## 38 75 47.61765 27.3823529 749.7932526
## 39 62 47.61765 14.3823529 206.8520761
## 40 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 41 54 47.61765 6.3823529 40.7344291
## 42 21 47.61765 -26.6176471 708.4991349
## 43 61 47.61765 13.3823529 179.0873702
## 44 22 47.61765 -25.6176471 656.2638408
## 45 45 47.61765 -2.6176471 6.8520761
## 46 57 47.61765 9.3823529 88.0285467
## 47 65 47.61765 17.3823529 302.1461938
## 48 71 47.61765 23.3823529 546.7344291
## 49 59 47.61765 11.3823529 129.5579585
## 50 63 47.61765 15.3823529 236.6167820
## 51 55 47.61765 7.3823529 54.4991349
## 52 39 47.61765 -8.6176471 74.2638408
## 53 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 54 37 47.61765 -10.6176471 112.7344291
## 55 27 47.61765 -20.6176471 425.0873702
## 56 72 47.61765 24.3823529 594.4991349
## 57 57 47.61765 9.3823529 88.0285467
## 58 66 47.61765 18.3823529 337.9108997
## 59 59 47.61765 11.3823529 129.5579585
## 60 73 47.61765 25.3823529 644.2638408
## 61 53 47.61765 5.3823529 28.9697232
## 62 47 47.61765 -0.6176471 0.3814879
## 63 56 47.61765 8.3823529 70.2638408
## 64 50 47.61765 2.3823529 5.6756055
## 65 52 47.61765 4.3823529 19.2050173
## 66 22 47.61765 -25.6176471 656.2638408
## 67 29 47.61765 -18.6176471 346.6167820
## 68 75 47.61765 27.3823529 749.7932526
## 69 72 47.61765 24.3823529 594.4991349
## 70 67 47.61765 19.3823529 375.6756055
## 71 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 72 52 47.61765 4.3823529 19.2050173
## 73 68 47.61765 20.3823529 415.4403114
## 74 26 47.61765 -21.6176471 467.3226644
## 75 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 76 32 47.61765 -15.6176471 243.9108997
## 77 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 78 63 47.61765 15.3823529 236.6167820
## 79 63 47.61765 15.3823529 236.6167820
## 80 49 47.61765 1.3823529 1.9108997
## 81 61 47.61765 13.3823529 179.0873702
## 82 41 47.61765 -6.6176471 43.7932526
## 83 66 47.61765 18.3823529 337.9108997
## 84 74 47.61765 26.3823529 696.0285467
## 85 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 86 51 47.61765 3.3823529 11.4403114
## 87 24 47.61765 -23.6176471 557.7932526
## 88 55 47.61765 7.3823529 54.4991349
## 89 24 47.61765 -23.6176471 557.7932526
## 90 35 47.61765 -12.6176471 159.2050173
## 91 37 47.61765 -10.6176471 112.7344291
## 92 59 47.61765 11.3823529 129.5579585
## 93 55 47.61765 7.3823529 54.4991349
## 94 33 47.61765 -14.6176471 213.6756055
## 95 23 47.61765 -24.6176471 606.0285467
## 96 29 47.61765 -18.6176471 346.6167820
## 97 61 47.61765 13.3823529 179.0873702
## 98 68 47.61765 20.3823529 415.4403114
## 99 39 47.61765 -8.6176471 74.2638408
## 100 50 47.61765 2.3823529 5.6756055
## 101 33 47.61765 -14.6176471 213.6756055
## 102 27 47.61765 -20.6176471 425.0873702
## 103 62 47.61765 14.3823529 206.8520761
## 104 46 47.61765 -1.6176471 2.6167820
## 105 22 47.61765 -25.6176471 656.2638408
## 106 50 47.61765 2.3823529 5.6756055
## 107 23 47.61765 -24.6176471 606.0285467
## 108 56 47.61765 8.3823529 70.2638408
## 109 41 47.61765 -6.6176471 43.7932526
## 110 26 47.61765 -21.6176471 467.3226644
## 111 51 47.61765 3.3823529 11.4403114
## 112 36 47.61765 -11.6176471 134.9697232
## 113 49 47.61765 1.3823529 1.9108997
## 114 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 115 33 47.61765 -14.6176471 213.6756055
## 116 41 47.61765 -6.6176471 43.7932526
## 117 67 47.61765 19.3823529 375.6756055
## 118 55 47.61765 7.3823529 54.4991349
## 119 47 47.61765 -0.6176471 0.3814879
## 120 53 47.61765 5.3823529 28.9697232
## 121 30 47.61765 -17.6176471 310.3814879
## 122 43 47.61765 -4.6176471 21.3226644
## 123 63 47.61765 15.3823529 236.6167820
## 124 22 47.61765 -25.6176471 656.2638408
## 125 49 47.61765 1.3823529 1.9108997
## 126 32 47.61765 -15.6176471 243.9108997
## 127 74 47.61765 26.3823529 696.0285467
## 128 70 47.61765 22.3823529 500.9697232
## 129 64 47.61765 16.3823529 268.3814879
## 130 23 47.61765 -24.6176471 606.0285467
## 131 69 47.61765 21.3823529 457.2050173
## 132 27 47.61765 -20.6176471 425.0873702
## 133 24 47.61765 -23.6176471 557.7932526
## 134 37 47.61765 -10.6176471 112.7344291
## 135 36 47.61765 -11.6176471 134.9697232
## 136 28 47.61765 -19.6176471 384.8520761
## 137 57 47.61765 9.3823529 88.0285467
## 138 21 47.61765 -26.6176471 708.4991349
## 139 45 47.61765 -2.6176471 6.8520761
## 140 50 47.61765 2.3823529 5.6756055
## 141 51 47.61765 3.3823529 11.4403114
## 142 73 47.61765 25.3823529 644.2638408
## 143 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 144 26 47.61765 -21.6176471 467.3226644
## 145 66 47.61765 18.3823529 337.9108997
## 146 37 47.61765 -10.6176471 112.7344291
## 147 39 47.61765 -8.6176471 74.2638408
## 148 32 47.61765 -15.6176471 243.9108997
## 149 58 47.61765 10.3823529 107.7932526
## 150 75 47.61765 27.3823529 749.7932526
## 151 44 47.61765 -3.6176471 13.0873702
## 152 47 47.61765 -0.6176471 0.3814879
## 153 71 47.61765 23.3823529 546.7344291
## 154 42 47.61765 -5.6176471 31.5579585
## 155 33 47.61765 -14.6176471 213.6756055
## 156 58 47.61765 10.3823529 107.7932526
## 157 54 47.61765 6.3823529 40.7344291
## 158 71 47.61765 23.3823529 546.7344291
## 159 70 47.61765 22.3823529 500.9697232
## 160 53 47.61765 5.3823529 28.9697232
## 161 55 47.61765 7.3823529 54.4991349
## 162 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 163 30 47.61765 -17.6176471 310.3814879
## 164 31 47.61765 -16.6176471 276.1461938
## 165 25 47.61765 -22.6176471 511.5579585
## 166 50 47.61765 2.3823529 5.6756055
## 167 31 47.61765 -16.6176471 276.1461938
## 168 63 47.61765 15.3823529 236.6167820
## 169 56 47.61765 8.3823529 70.2638408
## 170 55 47.61765 7.3823529 54.4991349Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 47400.15varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 280.4742Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 280.4742## [1] 19.20184desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 16.74737## [1] 4.3819914.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.351705CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.14725015 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia muestran la distribución de los datos mediante sus frecuencias, en pocas palabras, son las veces que se repite un número o dato. A partir de la tabla de frecuencia se pueden hacer distintas interpretaciones como se muestra en este caso acerca de las edades con dichos datos se pueden construir distintos gráficos como los que se muestran en el documento mediante los cuales, también, se puede realizar diferentes interpretaciones y análisis.
Con respecto a edades1 existe un 17.06% de valores que están en un rango o intervalo entre 20.89 y 26.897.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 47.6176471, la desviación es de: 16.7473653.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.7588235, la desviación es de: 4.381991.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.351705y el CV de edades2 es de: 0.1472501
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.