Objetivo.

1.1 Antiderivación (integral indefinida)

1.2 Integración por sustitución (Antiderivación de una función compuesta)

1.3 Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

1.4 Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas

• Determine sus antiderivada.

• sea \(f(x)= x^3 + 4x + 2\)

• sea \(f(x)= 2x + 9\)

• sea \(f(x)= 6x^3 + 5x + 4\)

• sea \(f(x)= 2x + 2\)

• sea \(f(x)= 5x + 4\)

NOTA= Las antiderivadas no son únicas por ejemplo \(G(x)= \frac{3}{2} x^2 + 2x + 3\) tambien es una antiderivada de \(f(x) = 3x + 2\)

Dada \(f(x)\) denotamos por \(\int f(x) \quad dx\) como el conjunto de todas las antiderivadas de \(f(x)\), es decir:

\(F(X) + c: F(X)\) es una antiderivada de \(f(x)\) y \(c \in {R}\)

La expresión \(\int f(x) dx\) se denomina integral indefinida \(f(x)\) y si \(F(x)\) es una antiderivada particular de \(f(x)\), entonces.

\[\int f(x) dx = F(x) + c\]

Ejemplo: \[\int 3 x+ 2 dx = \frac{3}{2} x^2 + 2x + c \]

Dada un función \(f(x)\), algunas veces queremos encontrar todas las funciones \(y=F(x)\) tales que \[\frac{dy}{dx}= {F}' (x) = f(x) \quad (*)\]

La expresión \(\frac{dy}{dx}=f(x)\) se denomina ecuación diferencial.

Las funciones \(y= F(x)\) que satisfacen la Ec. dif (*), se denomina la solucion de la Ec dif. notese que estas soluciones son \(\int f(x) dx = F(x)+ c= y + c\)

• \(\int dx = x + c\)

• \(\int k f(x)dx = k \int f(x) dx\)

• \(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)

• \(\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \quad \forall n \in \mathbb{R},\) con \(n\neq -1\)

Ejemplos:

• \(\int (4x^{3} - x^{2}) dx =\)

• \(\int \frac{3x^{4} + 3}{x^{2}} dx =\)

1. \(\int \frac{1}{x^{3}} dx =\)

2. \(\int \sqrt{x} \quad dx =\)

3. \(\int \frac{3x^{2}+5}{x^{2}} dx =\)

4. \(\int (3x^{4} - 5x^{2} + x) \quad dx =\)

5. \(\int \frac{x+1}{\sqrt{x}} dx =\)

1. \(\int \frac{1}{x^{2}} dx =\)

2. \(\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx =\)

3. \(\int (t^{2}+1)^2 dt =\)

4. \(\int \frac{x^{3}+ 3}{x^{2}} dx =\)

5. \(\int (2t^{2}+4t) dt =\)

1. \(\int \sin x \quad dx= - \cos x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \cos x \right ) = - \sin x\)

2. \(\int \cos x \quad dx= \sin x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \sin x \right ) = \cos x\)

3. \(\int \sec ^{2} x \quad dx= \tan x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \tan x \right ) = \sec^{2} x\)

4. \(\int \csc ^{2} x \quad dx= - \cot x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \cot x \right ) =- \csc^{2} x\)

5. \(\int \sec x \tan x dx=\sec x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \sec x \right ) = \sec x \tan x\)

6. \(\int \csc x \cot x dx= - \csc x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \csc x \right ) = -\csc x \cot x\)

• \(\sin^{2} x + \cos^{2} = 1\)

• \(1 + \tan^{2}x= \sec ^{2} x\)

• \(1 + \cot^{2}x= \csc ^{2} x\)

• \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x }\)

• \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

• \(\sin x = \frac{1}{\csc x}\) \(\quad\) \(\cos x = \frac{1}{\sec x}\) \(\quad\) \(\tan x = \frac{1}{\cot x}\)

• \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\) \(\quad\) \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\) \(\quad\) \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)

\(\sin (2x) = 2 \sin \cos x\)

\(\cos (2x) = 1 - \sin ^{2} x\)

\(\sin ^{2}x = \frac{1 -\cos 2x}{2}\)

\(\cos ^{2}x = \frac{1 +\cos 2x}{2}\)

Ejemplos:

1. \(\int 2 \sin x dx\) \(\quad\) 2. \(\int \frac{2 \cot x - 3 \sin ^{2} x }{\sin x } dx\)

2. \(\int 4 \sec^{2} x dx\) \(\quad\) 4. \(\int \frac{\sin x}{\cos ^{2}} dx\)

• \(\int e^{x} dx = e^{x} +c\)

• \(\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{ln a} +c\)

• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln x + c\)

Ejemplo:

• \(\int \left ( 3 e^{x} + \frac{3}{x}\right ) dx=\)

• \(\int \left ( 2 e^{x} - \frac{1}{x}\right ) dx=\)

El papel de la sustitución en la integración es comparable al de la regla de la derivación.

Recordar

\(y = F(u)\) y \(u = g(x)\)

La regla de la cadena establece que:

\[\frac{d}{dx}\left [ F(g(x)) \right ] = F{}'(g(x)) g{}'x\]

De acuerdo con la definición de una antiderivada o primitiva, se sigue.

\[\int F{}'(g(x)) g{}'x = F(g(x)) + C\]

Antiderivación de una función compuesta

Sea \(g\) una función cuyo recorrido o rango es un intervalo, y sea \(f\) función continua en I, si \(g\) es derivable en su dominio y \(F\) es una antiderivada de \(f\) en el intervalo I, entonces se efectua el Cambio de Variable

\[\int f(g(x)) g{}'x = F(g(x)) + C\]

Si \(u= g(x)\), entonces \(du = g{}'x dx\)

\[\int f(u) du = F(u) + C\]

1. \(\int (x^{2} +1)^2 (2x) dx\)

2. \(\int 5 \cos 5x dx\)

3. \(\int (\sin x)^{3} \cos x dx\)

4. \(\int 2 \sqrt{2x+3} dx\)

5. \(\int e^{2x} 2 dx\)

6. \(\int 2x(x^{2}+1)^4 dx\)

7. \(\int 3x^2 \sqrt{x^{3}+1} dx\)

8. \(\int \sqrt{\tan x} \sec ^{2}xdx\)

No cumplen con el patrón.

1. \(\int \sqrt{x^{3}+3x^2+1} \quad (x^2 + 2x) dx\)

2. \(\int x (x^2 + 1)\sqrt{4-2x^2-x^4} \quad dx\)

3. \(\int \sin ^{3}x dx\)

4. \(\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos ^{3}x}}\)

1. \(\int x \sqrt{x+6} \quad dx\)

2. \(\int \frac{x^2-1}{\sqrt{2x-1}} \quad dx\)

3. \(\int \frac{2x+1}{\sqrt{x+4}} \quad dx\)

4. \(\int x\sqrt{2x + 1} dx\)

5. \(\int \frac{x}{\sqrt{2x -1}}dx\)

6. \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}\)

1. \(\int \tan x dx = ln \left | \sec x \right | + c\)

2. \(\int \cot x dx = ln \left | \sin x \right | + c\)

3. \(\int \sec x dx = ln \left | \sec x + \tan x\right | + c\)

4. \(\int \csc x dx = ln \left | \csc x - \cot x \right | + c\)

Nota:

\(u = \cos x\)

\(du = - \sin x dx\)

\(-du = \sin x dx\)

\(\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\) \(= - \int \frac{du}{u}\) \(= - \quad ln \left | u \right |+ c\) \(= - \quad ln \left | \cos x \right |+ c\) \(= ln \left |\cos ^{-1} x\right |+ c\) \(= ln \left |\sec x\right |+ c\)

1. \(\frac{d (\arcsin x)}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

2. \(\frac{d (\arccos x)}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

3. \(\frac{d (\arctan x)}{dx} = \frac{1}{1+ x^{2}}\)

4. \(\frac{d (\textrm{arccot} x)}{dx} = - \frac{1}{1+ x^{2}}\)

5. \(\frac{d (\textrm{arcsec} x)}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}\) \(\quad\)

6. \(\frac{d (\textrm{arccsc} x)}{dx} = - \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}\)

Teorema:

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}= \arcsin x +c\)

• \(\int \frac{dx}{{1+x^{2}}}= \arctan x +c\)

• \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}= \textrm{arcsec} x +c\)

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}= \arcsin \frac{x}{a} +c, \quad a> 0\)

• \(\int \frac{dx}{{a^{2}+x^{2}}}= \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} +c, \quad a \neq 0\)

• \(\int \frac{dx}{{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}}= \frac{1}{a}\textrm{arcsec} \frac{x}{a} +c, \quad a > 0\)

Demostración:

• Sea \(u\frac{x}{a}\), \(\quad\) \(du = \frac{1}{a}dx\), \(\quad\) \(dx=a du\), \(\quad\) \(x=au\)

1 \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} =\) \(\quad\) \(\int \frac{a du}{\sqrt{a^{2}-a^{2}u^{2}}}\) \(\quad\) \(=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

\(\rightarrow\) \(\quad\) \(\arcsin u + c =\) \(\quad\) \(\arcsin \frac{x}{a} + c\)

• Sea \(u\frac{x}{a}\), \(\quad\) \(du = \frac{1}{a}dx\), \(\quad\) \(dx=a du\), \(\quad\) \(x=au\)

1. \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} =\) \(\quad\) \(\int \frac{a du}{\sqrt{a^{2}+a^{2}u^{2}}}\) \(\quad\) \(= \frac{1}{a} \int \frac{du}{{1+u^{2}}}\)

\(\rightarrow\) \(\quad\) \(\arctan u + c =\) \(\quad\) \(\arctan \frac{x}{a} + c\)

1. \(\int \frac{1}{x^{2}+4} dx\)

2. \(\int \frac{3}{x^{2}+16} dx\)

3. \(\int \frac{dx}{36x^{2}+1} dx\)

4. \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 9x^{2}}} dx\)

5. \(\int \frac{dx}{x\sqrt{ 9x^{4}-4}} dx\)

6. \(\int \frac{3}{x^{2}+5} dx\)

7. \(\int \frac{dx}{8x^{2}+1} dx\)

1. \(\int \frac{dx}{8x^{2}+1} dx\)

2. \(\int \frac{dx}{x^{2}+ 2x + 10}\)

3. \(\int \frac{dx}{\sqrt{4 - 49x^{2}}}\)

4. \(\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+4}\)

5. \(\int \frac{3dx}{(x+2)\sqrt{x^{2}+4x+3}}\)

6. \(\int \frac{3}{x^{2}+5} dx\)

1. \(\int x^{2} (5+2x^{3})^{8} dx\)

2. \(\int \frac{4x^{2}}{(1-8x^{3})^{4}} dx\)

3. \(\int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^{2}-2x}}\)

La suma de \(n\) terminos \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}... a_{n}\) se escribe como \[\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} +a_{3} ...+a_{n}\]

donde \(i\) es el índice de suma, \(a_{i}\) es el i-ésimo término de la suma y los límites superiores e inferiores de la suma son \(n\) y \(1\).

NOTA: Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es el legítimo.

• \(\sum_{i=1}^{6} i = 1+2+3+4+5+6\)

• \(\sum_{i=0}^{5} (i+1)= (0+1) + (1+1)+ (2+1) + (3+1) + (4+1)+ (5+1)\)

• \(\sum_{j=3}^{5} j^{2}= 3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}\)

• \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}(k^{2}+1)= \frac{1}{n}(1^{2}+1) + \frac{1}{n}(2^{2}+1) +...\frac{1}{n}(n^{2}+1)\)

• \(\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}) \Delta x= f(x_{1}) \Delta x +f(x_{2}) \Delta x+ ... f(x_{n}) \Delta x\)

\(\sum_{i=1}^{n} c= cn\)

\(\sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)

\(\sum_{i=1}^{n} i^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

\(\sum_{i=1}^{n} i^{3}= \frac{n^{2}(n+1)^2}{4}\)

Definición del área de una región en el Plano.

Sea \(f\) continua y no negativa en el intervalo [a,b]. El área de la región limitada por la grafica de \(f\), el eje \(x\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\) es:

\[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] donde \[\Delta x = \frac{b-a}{n}\] \[x_{i} = a + i\Delta x\]

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= 2x +1\) en \(x=1\) \(x=2\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{1}^{2} 2x +1 dx\]

Ejemplo: 1

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= x^2\) en \(x=2\) \(x=8\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{2}^{8} x^2 dx\]

Ejemplo: 2

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= x^3\) en \(x=2\) \(x=4\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{2}^{4} x^3 dx\]

Ejemplo: 3

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= 4x-x^2\) en \(x=0\) \(x=3\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{0}^{3} 4x-x^2 dx\]

Ejemplo: 4

\(A= \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}} dx\)

Ilustración

Si \(f\) se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite de las sumas de Riemann sobre las particiones \(\delta\)

\[\lim_{\left \| \Delta \right \|\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x_i\]

existe (como se describírío antes), entonces \(f\) es Integrale en [a,b] y el límite se denota por:

\[\lim_{\left \| \Delta \right \|\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x_i = \int_{a}^{b}f(x)dx\]

El límite recibe el nombre de Integral Definida de \(f\) de a a b. El número a es el límite inferior de integración y el número es el límite de integración.

Área de figuras geométricas comunes utilizando las integrales definidas.

• \(\int_{1}^{3}4 dx\)

• \(\int_{0}^{3}(x +2)dx\)

1. Si \(f\) está definida en \(x=4\), entonces se define \(\int_{a}^{a}f(x)dx = 0\)

2. Si \(f\) es integrable en [a,b], entonces se define \(\int_{b}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{b}f(x)dx\)

Ejemplo

• \(\int_{3}^{0}(x+2)dx = - \int_{0}^{3}(x+2)dx\)

• \(\int_{a}^{b}kf(x)dx = k \int_{a}^{b}f(x)dx\)

• \(\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx =\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx\)

Ejemplo:

• \(\int_{1}^{3}-x^{2} + 4x -3 dx\)

Primer Teorema Fundamental del Cálculo.

Si una función \(f\) es continua en el intervalo cerrado [a,b], y \(F\) es una antiderivada de \(f\) en el intervalo [a,b], entonces.

\[\int_{a}^{b}f(x) dx= F(b) - F(a)\] Ejemplo:

\(\int_{1}^{3}x^{3} dx= F(3) - F(1)\)

1. \(\int_{1}^{2}x^{2}-3 dx\)

2. \(\int_{1}^{3}3 \sqrt{x} dx\)

3. \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sec ^{2} dx\)

Segundo Teorema fundamental del cálculo.

\(\int_{0}^{x}\cos t dt\)

Para \(x= 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}.\)

Segundo Teorema fundamental del cálculo.

Si \(f\) es continua en el intervalo abierto \(l\) que contiene a, entonces, para todo \(x\) en el intervalo.

\[\frac{d}{dx} \left [ \int_{a}^{x} f(t)dt\right ] = f(x)\]

• Encontrar la derivada de \(F(x)=\int_{\frac{\pi }{2}}^{x^3} cos t dt\)

Se aplica \(u=x^3\),para hacer uso del segundo teorema del cálculo junto con la regla de la cadena como se ilustra.

\({F}'(x)=\frac{d}{du} \left [\int_{\frac{\pi }{2}}^{x^3} cos t dt\right] \frac{du}{dx}\)

\(=\frac{d}{du} \left [\int_{\frac{\pi }{2}}^{U} cos t dt\right] \frac{du}{dx}\)

\(=(\cos u )(3x^{2})\)

\(=(\cos 3x^{2} )(3x^{2})\)

\(F(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x^3} cos t dt = \sin x^3 - \sin \frac{\pi}{2} = (\sin x^3) -1\)

\({F}'(x)= (\cos x^3)(3x^3)\)

Con este resultado queda comprobado que la derivada de la integral es la misma función inicial.

Esta técnica sirve cuando el integrando esta formando por un producto o una división que se podrá escribir como producto.

sea \(u\) y \(v\) funciones de \(x\) tienen derivadas continuas, entonces:

• Determinar el tipo de función de cada término del integrando.

1. Inversa (\(\rightarrow \arcsin, \arccos ...\))

2. Logaritmicas (\(\rightarrow \lg x; \ln x ...\))

3. Algebraicas (\(\rightarrow x^{3}; x^{2} ...\))

4. Trigonometricas (\(\rightarrow \sin x; \cos x ...\))

5. Exponencial (\(\rightarrow \exp ^{x}\))

Segun el orden ascendente es \(u\) y el resto del integrando es \(dv\); Observe que \(dv\) siempre incluye \(dx\) del integrando original.

• \({\color{DarkRed}{\int3xe^{x}dx}}\)

Para determinar quien es \(u\) primero identifico el tipo de función de cada una

como \({\color{DarkRed}{3x}}\) es de tipo Álgebraica y \({\color{DarkRed}{e^{x}}}\) es de tipo Exponencial.

Como la Álgebraica se encuentra de tercera y la Exponencial de quinta se identifica a \(u\) como \({\color{DarkRed}{3x}}\) y \(dv\) como \({\color{DarkRed}{e^{x}}}\), es de realtar que \(dv\) va acompañado del \(dx\) dado que es la parte que se va a integrar y \(u\) es la parte que se va a derivar.

Siendo \(u:3x\) y \(dv: e^{x} dx\)

Derivar u

\(u:3x\)

\(du: 3 dx\)

Integrar dv

\(dv: e^{x} dx\)

\(v: \int e^{x} dx\)

\(v: e^{x} + C\)

Siendo \((u:3x)\); \((du: 3 dx)\); \((dv: e^{x} dx)\) y \((v: e^{x} + C)\)

Se organiza en la estructura:

\[\int u dv= u v - \int vdu\] \[\int 3x e^{x} dx= 3xe^{x} - \int e^{x}3 dx \] \[{\color{DarkRed}{\int3xe^{x}dx=3xe^{x}-3e^{x}dx}}\]

1. \(\int x e^{x}dx\)

2. \(\int x^{2}ln x dx\)

3. \(\int x^{2} \sin x dx\)

4. \(\int x \sin 2 x dx\)

5. \(\int x^{3} e^{x} dx\)

6. • \(\int x^{3} \sin x^{2} dx\)
7. • \(\int 3e^{\sqrt{x}} dx\)
8. • \(\int \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}dx\)

1. \(\int \ln x dx\)

2. \(\int \arcsin x dx\)

3. \(\int \arccos x dx\)

4. \(\int \arctan x dx\)

Es un método que se utiliza cuando el integrando tiene la siguiente estructura

Caso I: \[\sqrt{a^{2}-x^{2}} \rightarrow x= a \sin \theta \]

Caso II: \[\sqrt{a^{2}+x^{2}} \rightarrow x= a \tan \theta \]

Caso III:

\[\sqrt{x^{2}-a^{2}} \rightarrow x= a \sec \theta \] Siempre que \(a>0\)

• \[\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1\]

• \[\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x\]

• \[\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x\]

• \[\sec^{2}x = \tan^{2}+1 x\]

• \[\tan^{2} x = \sec^{2}-1 x\]

• \(\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}\)

• \(\int \frac{1}{\sqrt {4+x^{2}}}dx\)

• \(\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx\)

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+1}}\)

• \(\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-5}}dx\)

• \(\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\)

• \(\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-3}}dx\)

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}+1}}\)

• \(\int \frac{1}{36+x^{2}}dx\)

• \(\int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx\)

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{1+49x^{2}}}\)

• \(\int \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}dx\)

Caso II:

Fractores Lineales Repetidos

Ejemplo:

• \[\int \frac{5x^2 +20x +6}{x^{3}+2x^2 +x}dx\]

Caso III:

Fractores Cuadráticos y Lineales Distintos

Al usar el método de fracciones simples con los factores lineales, una opción conveniente de \(x\) da un valor inmediatamente por uno de los coeficientes. Con los factores cuadráticos, un sistema de ecuaciones lineales tiene que ser resuelto, sin tener en cuenta la opción de \(x\).

Ejemplo:

• \[\int \frac{2x^3 -4x -8}{(x^{2}-x)+(x^2+4)}dx\]

Caso IV:

Fractores Cuadráticos y Lineales Distintos

Ejemplo:

• \[\int \frac{8x^3 +13x}{(x^{2}-2)^2}dx\]

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= x^2\) en \(x=2\) \(x=8\) mediante la integral definida \[Area = \int_{2}^{8} x^2 dx\]

Encontrar el área de la región acotada por las curvas \(f(x)= x^{2}+2\) y \(g(x)=-x\) en el intervalo [0,1]

Ejemplo #1

Encontrar el área de la región acotada por las curvas \(f(x)= 2-x^{2}\) y \(g(x)=x\)

Ejemplo #2

Encontrar el área de la región acotada por las curvas \(f(x)= x^{2}-4x\) y \(g(x)=16-x^{2}\)

Ejemplo #3

Se denomina solidos de revolución al solido obtenido al rotar una región o área del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual se denomina eje de revolución.

• Graficar la función

• Preparar la función

  • Si gira al eje x: los limites son x_1,2 y la función es \(y=f(x)\)

  • Si gira al eje Y: los limites son Y_1,2 y la función es \(x=f(y)\)

• Aplicar la formula del método

Haller el volumen de un solido al girar alrededor del eje x, en la región que forman las funciones \(y=\sqrt{x}\) en \(x=[0,1]\)

Haller el volumen de un solido al girar alrededor del eje y, en la región que forman las funciones \(y=2-\frac{x^{2}}{2}\) en \(y=[0,3]\)

El volumen de una arandela se expresa como: \[V=\pi (R^{2} -r^{2}) w\] Para calcular el volumen de un sólido de revolución, se considera una región acotada por un radio exterior \(R(x)\) y un radio interior \(r(x)\). Si la región se gira alrededor de su eje de revolución, el volumen del sólido resultante está dado por: \[V= \pi \int_{a}^{b}[R(x)]^{2} -[r(x)]^{2})dx\]

Hallar el volumen de un solido al girar alrededor del eje y, en la región que forman las funciones \(y=x^{3}\) \(y=x\) en \(x\geq 0\)

Hallar el volumen de un solido al girar alrededor del eje x, en la región que forman las funciones \(\frac{1}{4}x^{2}\) \(y=5-x^{2}\) alrededor del eje x.

Este método se llama el método de las capas porque usa capas cilíndricas.

El radio del cilindro más grande corresponde al radio exterior de la capa y el radio del cilindro más pequeño corresponde al radio interno de la capa. Porque \(p\) es el radio medio de la capa, se sabe que el

Radio Exterior:

\[Exterior= p + \frac{w}{2}\] Radio Interno:

\[Interior= p - \frac{w}{2}\]

Volumen de la capa = (volumen del cilindro) - (volumen del hueco)

• Volumen de la capa \[=2 \pi [p(y)h(y)]dy\]

• Volumen del sólido \[=2\pi \int_{a}^{b}[p(y)h(y)] dy\]

Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por \(y=x - x^{3}\) en el eje x \(0 \leq x \leq 1\) alrededor del eje \(y=0\).

Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por \(y=3+e^{x}\) y eje \(y=1\) en el eje x \(0 \leq x \leq 3\) alrededor del eje \(y=0\)

Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de \(y=x^{3} +x +1\), \(y=1\) y \(x=2\) alrededor del eje \(x=2\)

Nota:

• Cuando el diferencial se encuentra a la derecha del eje de giro el \(p(x)=x -eje\)

• Cuando el diferencial se encuentra a la izquierda del eje de giro el \(p(x)=eje -x\)

Discos * Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de \(f(x)=\sqrt{\sin x}\) y el eje $0x $ alrededor del eje \(x\)

• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por \(f(x)= 2-x^{2}\) y \(g(x)=1\) alrededor de la recta \(y=1\)

Arandelas * Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de \(f(x)=\sqrt{x}\) y \(g(x)=x^{2}\) en \(x=[0,1]\)

• Determine el volumen del solido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje \(y\) la curva \(g(x)=\frac{2}{y}\) donde \(1\leq y \leq\) alredeor del eje y.

Capas * Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por \(y=x^{2}+1\) en el eje x \(0 \leq x \leq 1\) alrededor del eje \(y=0\).

• usar el método de las capas para encontrar el volumen del sólido generado al girar la región plana alrededor de la recta dada. \(y=4x -x^{2}\), \(y=0\) alrededor de la recta \(x=5\)

Si se tiene una función \(f(x)\) derivable en un intervalo \([a, b]\), entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva \(f(x)\)

Forma Cartesiana

• Hallar la longitud del arco de la función \(y = x ^{\frac{3}{2}}\) en el intervalo \([0, 1]\)

  

Forma Paramétrica

Encuentra la longitud del arco de la semicircunferencia definida por las ecuaciones

\(x(t) = 3 \cos t\), \(y(t) = 3\sin t\), \(0 ≤ t ≤ π.\)

Forma Coordenadas Polares

Encuentra la longitud del cardioide definid0 por las ecuaciones

\(x(\theta) = 2 (1+ \cos \theta)\).

Las integrales impropias son integrales definidas que cubren un área no acotada. Un tipo de integrales impropias son las aquellas en las que al menos uno de los puntos extremos se extiende al infinito.

Divergente:

• Se dice que es divergente cuando el resultado de la integral impropia es INFINITO

Convergente:

• Se dice que la integral es convergente cuando el resultado de la integral es un NÚMERO REAL

Ejemplo: \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} dx\)

Primera Especie

• \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx\)

• \(\int_{0}^{\infty} \frac{4}{x^{3}} dx\)

• \(\int_{ - \infty}^{ + \infty} \frac{1}{1+x^{2}} dx\)

Segunda Especie

• \(\int_{2}^{6}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx\)

• \(\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx\)

• \(\int_{0}^{1}\frac{ln x}{\sqrt{x}}dx\)

Tercera Especie

• \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^{x}-1} dx\)

• \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}-1} dx\)

Nota:

• \(ln (0)= - \infty\)

• \(lg (0)= - \infty\)

• \(lg (\infty)= + \infty\)

• \(e^{\infty} = \infty\)

• \(1^{\infty} = e\)

Integrales Convergentes

• \(\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx\)

• \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx\)

Integrales Divergentes Discontinuidad en x=0

• \(\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)

  

Discontinuidad en x=0

• \(\int_{-1}^{2}\frac{dx}{x^3}\)