Guía de Ejercicios I

1. (Complementos Perfectos) Sea \(U(x,y) = \min\{\alpha x, \beta y\}\), con \(\alpha, \beta \in Z^+\) y considere la restricción presupuestaria \(I = P_x\cdot x + P_y\cdot y\). Encuentre \(x^*\) e \(y^*\).
   

2. Suponga que las preferencias de un consumidor se pueden representar mediante la función de utilidad \[U(x_1,x_2) = \min\{5x_1,x_2\},\] además considere \(p_{x_1} = 1\) y \(p_{x_2} = 1\), \(m=100\) con \(m\) representando el ingreso total. Apoyece de la solución del ejercicio anterior, encuentre \(x_1^*\) y \(x_2^*\).
   

3. Maximice \[U(x_1, x_2) = \min\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{b}x_1, \frac{1}{b}x_2\end{array}\right\}\]

Sujeta a \[P_{x_1}\cdot x_1 + P_{x_2}\cdot x_2 = M\].

4. Suponga que \(U(x,y) = x^{\alpha} + y^{\alpha}\) con \(\alpha < 1\). Muestre que \[x^* = \frac{M}{P_{x}\left(\begin{array}{c}1 + \left(\begin{array}{c}\frac{P_{y}}{P_{x}}\end{array}\right)^{\alpha}\end{array}\right)}\hspace{0.5cm}y\hspace{0.5cm} y^* = \frac{M}{P_{y}\left(\begin{array}{c}1 + \left(\begin{array}{c}\frac{P_{x}}{P_{y}}\end{array}\right)^{\alpha}\end{array}\right)}\] considere \(P_{x}\cdot x + P_{y}\cdot y = M\).
   

5. Un consumidor tiene la función de utilidad sobre los vienes \(x\) e \(y\), \[U(x,y) = 12x^2y^4\] Sea \(P_{x}\) y \(P_{y}\) el precio del bien \(x\) e \(y\) respectivamente. Y sea el ingreso dado por \(M\).

• ¿Cuál es la pendiente de la curva de indiferencia del consumidor en el paquete de consumo \((1,1)\)?

• Encuentre \(x^*\) e \(y^*\) para los bienes \(x,y\) respectivamente.

• Si tenemos \(P_{x} = 2, P_{y} = 2\) y \(M = 24\), calcule la utilidad maximizando la canasta de consumo.

6. Utilizando el lenguaje de programación R, trace la curva de indiferencia típica de las siguientes funciones de utilidad y su TMS.

• \(U(x, y) = 3x+y\)
• \(U(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}\)
• \(U(x_1,x_2) = \frac{1}{8}x_1 + \frac{1}{8}x_2\)
• \(U(x_1,x_2) = (x_1 + x_2)^2\)

7. Una noche Jose Elvir, decide consumir cigarros \((c)\) y brandy \((b)\) siguiendo la función \[U(c,b) = 20c - c^2 + 18b - 3b^2\]

• ¿Cuántos cigarros y copas consume esa noche? (su costo no es obstaluclo para Jose Elvir)
• Sin embargo, recientemente, los médicos han aconsejado a Jose Elvir. que limite a 5 su consumo de cigarros y brandy. ¿Cuántas copas de brandy y cuántos cigarros consumirá en estas nuevas circunstancias?

8. El Sr. Sosa obtiene utilidad de los martinis \((m)\) en función de la cantidad que bebe: \[U(m) = m\] Sin embargo, el Sr. Sosa es muy quisquilloso con sus martinis: sólo le gustan los preparados con una proporción exacta de dos partes de ginebra \((g)\) y una de vermouth \((v)\). Por tanto, podemos volver a escribir la función de utilidad del Sr. Sosa como \[U(m) = U(g,v) = \min\{\frac{g}{2}, v\}\]

• Calcule las funciones de demanda de \(g\) y \(v\).
• Partiendo de los resultandos del ítem previo, ¿Cuál es la función de utilidad indirecta del Sr. Sosa?
• Calcule la función del gasto del Sr. Sosa, para cada nivel de utilidad, muestre el gasto como una función de \(p_g\) y \(p_v\).

9. La función de utilidad con ESC general está dada por \[U(x,y) = \frac{x^{\delta}}{\delta} + \frac{y^{\delta}}{\delta}\] Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad con restricción con esta función exige que los individuos elijan los bienes en la proporción

\[\frac{x}{y} = \left(\begin{array}{ccc}\frac{P_{x}}{p_{y}}\end{array}\right)^{\frac{1}{\delta - 1}}\] Demuestre que el resultado del inciso anterior implica que los individuos asignaran sus fondos a partes iguales entre \(x\) y \(y\) en el caso Cobb-Douglas \((\delta = 0)\).

10. Un consumidor tiene la siguiente funcion del gasto \(e(p_{1},p_{2},u) = \frac{up_{1}p_{2}}{p_{1}+p_{2}}\). Encuentre la función de utilidad directa.

11. Calcular la función de gasto \(e(p,u)\) para la siguiente función de utilidad \(u(x_1,x_2) = \min\{x_1,x_2\}\)

12. Suponga que un consumidor tiene la función de gasto: \[e(p_1,p_2,u) = \left(\begin{array}{c}\frac{p_1}{3} + 2\frac{p_2}{3} + (p_1p_2)^{1/2} \end{array}\right)u\] Encuentre las funciones de demanda Hicksianas, Marshalianas y la función de utilidad indirecta.

13. Suponga que las preferencias de un consumidor estan representadas mediante una función Cobb-Douglas, \(u(x_1,x_2) = Ax_1^\alpha x_2^{1-\alpha}\), \(0<\alpha < 1\), y \(A>0\). Determine las demandas Marshalianas.

14. (Ejercicio Reto)Un agente de vida infinita posee 1 unidad de mercancia que consume durante toda su vida. La mercancia es perfectamente almacenable y no recibirá más de lo que tiene ahora. El Consumo de la mercancia en el período \(t\) se denota por \(x_t\), y su función de utilidad de por vida esta dada por

\[U(x_0,x_1, . . . , ) = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t\ln(x_t),\hspace{0.6cm}donde\hspace{0.3cm} 0<\beta<1\] - Escriba el problema de maximización de la utilidad de un consumidor general.

15. (Ejercicio Reto) La función de utilidad de Cobb-Douglas generalizada esta dada por \[U(\textbf{x}) = A\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha_{i}}\] donde \(A>0\) y \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} = 1\), recuerde que \(\textbf{x} = x_1, . . . , x_n\).

• Determine las funciones de demanda Marshalianas
• Determine la función de utilidad indirecta
• Determine la función del gasto
• Determine las demandas Hicksianas

Nota: en este ejercicio usted puede buscar ayuda externa o consultarme ante cualquier planteamiento que realice para orientarle