Teoría del consumidor

Funciones de Utilidad Indirecta y Gasto

La función de utilidad ordinaria, \(U(x)\), se define sobre el conjunto de consumo \(\textbf{X}\) y representa directamente las preferencias del consumidor, como hemos visto. Por lo tanto, se denomina como función de utilidad directa. Dados los precios \(p\) y la renta (ingreso) \(y\), el consumidor elige una cesta que maximiza \(x(\textbf{p},y)\). El nivel de utilidad alcanzado cuando se elige \(x(\textbf{p},y)\) será entonces el nivel más alto permitido por la restricción presupuestaria del consumidor frente a los precios \(p\) e ingresos \(y\). Diferentes precios o ingreso, dando diferentes restricciones presupuestaria, generalmente dan lugar a diferentes elecciones por parte del consumidor y, por lo tanto, a diferentes niveles de maximización de utilidad. La relación entre los precios, la renta y el valor maximizado de la utilidad se puede resumir por una función de valor real \(v: \mathbb{R}^n\times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) que se define de como

\[ v(\textbf{p},y) = \max_{\textbf{x}\in \mathbb{R}} u(\textbf{x})\hspace{1cm}s.t\hspace{1cm} \textbf{p}\cdot \textbf{x} \leq y\hspace{0.9cm} (1) \]

a la identidad \(v(p,y)\) se le conoce como función de utilidad indirecta. Esta representa el valor maximo de la función correspondiente al problema de maximización de la utilidad del consumidor. Cuando \(u(\textbf{x})\) es continua, \(v(\textbf{p},y)\) está bien definida para todo \(\textbf{p}\geq 0\) y \(y \geq 0\). Por que se garantiza que existe una solución al problema de maximización (1).

El máximo nivel de utilidad que se puede alcanzar frente a precios \(p\) e ingreso \(y\), por lo tanto será la que se realice cuando se elija \(\textbf{x}(\textbf{p},y)\). Entonces,

\[ v(\textbf{p},y) = u(\textbf{x}(\textbf{p}, y)) \]

Geométricamente, podemos pensar en \(v(\textbf{p},y)\) como dando el nivel de utilidad de la curva de indiferencia más alta que puede alcanzar el consumidor, dado los precios \(\textbf{p}\) y el ingreso \(y\), como se ilustra en la siguiente figura:

Figura 1: Utilidad indirecta a precios p e ingreso y.

Existen varias propiedades que poseerá la función de utilidad indirecta.

Teorema 1: Propiedades la función de utilidad indirecta

Si \(u(x)\) es continua y estrictamente creciente en \(\mathbb{R}^n\), entonces \(v(\textbf{p},y)\) definida en (1) es:

  1. Continua en \(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\)
  2. Homogenea de grado cero en \((\textbf{p},y)\)
  3. Estrictamente creciente en \(y\)
  4. Decreciente en \(p\),
  5. Cuasiconvexa en \((\textbf{p},y)\)

Además, satisface la identidad de Roy , la cual nos dice lo siguiente.

Identidad de Roy

Si \(v(\textbf{p},y)\) es diferenciable en \((\textbf{p}^,y^)\) y \(\frac{\partial v(\textbf{p}^,y)}{\partial y}\neq 0\) entonces

\[ x_i(\textbf{p},y^) = -\frac{\frac{\partial v(\textbf{p},y)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(\textbf{p},y)}{\partial y}},\hspace{0.9cm} i = 1, . . . , n \]

En resumen, lo que nos dice la identidad de Roy es que a partir de la función de utilidad indirecta perfectamente puedes encontrar las demandas Marshalinas, es decir, \(\textbf{x}^*(\textbf{p},y)\).

Observación o recordatorio: El problema del consumidor es encontrar una canasta de consumo no negativa que resuelva

\[ \max u(x_1,x_2, . . . , x_n)\hspace{1cm}s.t\hspace{1cm} p_1x_1 + p_2x_2 + . . . + p_nx_n \leq y \]

La Función del Gasto

La función de utilidad indirecta es una forma clara y poderosa de resumir mucho sobre el comportamiento del consumidor en el mercado. Una medida complementaria, llamada Función del gasto, es igualmente útil. Para construir la función de utilidad indirecta fijamos precios de mercado y el ingreso, y buscamos el nivel máximo de utilidad que el consumidor podría alcanzar.

Ahora bien, para construir la función del gasto, de nuevo fijamos precios, pero hacemos un tipo diferente de pregunta sobre el nivel de utilidad que alcanza el consumidor. En concreto, preguntamos: ¿cuál es el nivel mínimo de gasto de dinero que el consumidor debe hacer frente a un conjunto dado de precios para lograr un determinado nivel de utilidad? En esta construcción, ignoramos cualquier limitación impuesta por el consumidor y simplementee preguntar cuánto tendría que gasta el consumidor para lograr un determinado nivel de utilidad.

Para comprender mejor este probelma que estamos estudiando, considera la Figura 2:

Figura 2: Encontrar el nivel más bajo de gasto para lograr la utilidad nivel u.

y constrantandolo con la Figura 1. Note que cada una de las líneas rectas paralelas en la Figura 2 representa todos los paquetes \(x\) que requieren el mismo nivel de gasto total para adquirir frente a precios \(\textbf{p} = (p_1,P_2)\).

Cada una de estas curvas de isogasto se define implicitamente por \(e = p_1x_1 + p_2x_2\), para un nivel diferente de gasto total \(e>0\). Por tanto, cada una tendría la misma pendiente, \(-p_1/p_2\), pero diferentes intersecciones horizontales y verticales.

Es claro que las curvas de isogasto más alejadas contienen paquetes que cuestan más; los que están más adentro dan paquetes que cuestan menos.

No hay ningún punto en común con la curva de isogasto \(e^3\) y la curva de indiferencia \(u\), lo que indica que \(e^3\) dólares es insuficiente a estos precios para alcanzar la utilidad u. Sin embargo, casa una de las curvas \(e^1, e^2\) y \(e^*\) tienen al menos un punto en común con u, lo que indica que cualquiera de estos niveles de gasto total es suficiente para que el consumidor logre la utilidad u.

Sin embargo, al construir la función de gasto, buscamos el gasto mínimo que requiere el consumidor para alcanzar la utilidad u, o el isogasto más bajo posible, es decir, curva que todavia tiene al menos un punto en común con la curva de indiferencia u. Claramente, eso será el nivel \(e^*\), la canasta de menor coste que alcanza la utilidad u aprecios p sera la cesta \(\textbf{x}^h = (x_1^h(\textbf{p},u), x_2^h(\textbf{p},u))\).

Si denotamos el gasto mínimo necesario para lograr la utilidad u a precios p como \(e(\textbf{p},u)\), ese nivel de gasto simple será igual al coste de \(\textbf{x}^h\), o

\[e(\textbf{p},u) = p_1x_1^h(\textbf{p},u) + p_2x_2^h(\textbf{p},u) = e^*\]

De manera más general, definimos la función de gasto como la función de valor mínimo,

\[ e(\textbf{p},u) = \min_{\textbf{x}\in \mathbb{R}^n} \textbf{p}\cdot \textbf{x}\hspace{1cm} s.t \hspace{1cm} u(\textbf{x}) \geq u \]

para todo \(\textbf{p} \geq 0\) y todos los niveles de utilidad alcanzables u.

Teorema 2: Propiedades de la función del gasto

Si \(u(.)\) es continua y estrictamente creciente, entonces \(e(\textbf{p},u)\) definida anteriormente es:

  1. Cero cuando u toma el nivel más bajo de utilidad en U.
  2. Continua en su dominio \(\mathbb{R}^n\times U\)
  3. Para todo \(\textbf{p}\geq 0\), estrictamente creciente e ilimitado arriba de u.
  4. Creciente en \(p\)
  5. Homogenia de grado 1 en \(\textbf{p}\),
  6. Concava en \(\textbf{p}\)

Además, si \(u(.)\) es estrictamente quasiconcava, satisface el lemma de Shephard

Lemma Shephard

Si \(e(\textbf{p},u)\) es diferenciable en \(\textbf{p}\) con \(\textbf{p} \geq 0\), entonces

\[ \frac{\partial e(\textbf{p},u)}{\partial p_i} = x_i^h(\textbf{p},u),\hspace{0.6cm} i = 1, . . . , n \]

Ejercicio a desarrollar en clase

La función, \(u(x_1,x_2) = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}\), donde \(0\neq \rho < 1\), se conoce como Función de utilidad CES.

  • Determine las demandas Marshalianas a partir de resolver el problema del consumidor.

  • Plantee la función de utilidad indirecta

  • utilizando la identidad de Roy determine las demandas Marshalianas

  • Encuentre la ecuación del gasto

  • Utilizando el lemma de Shephard encuentre las demandas Hicksianas

Relaciones entre las funciones de utilidad indirecta y el gasto

Teorema 3:

Sean \(v(\textbf{p},y)\) y \(e(\textbf{p},u)\) la función de utilidad indirecta y la función de gasto para algunos consumidores cuya función de utilidad es continua y estrictamente creciente. Entonces, para todo \(\textbf{p} \geq 0\) y \(y \geq 0\), se cumple que

  • \(e(\textbf{p},v(\textbf{p},y)) = y\)

  • \(v(\textbf{p}, e(\textbf{p},u)) = u\)

Nota: Dados los requisitos previos a este curso, no demostraremos ningún teorema, asi que los tomaremos como premisas.

Ejercicio a resolver en clase

Podemos ilustrar este teorema basandonos en los resultados del ejemplo anterior, se encontro que la función de utilidad CES da la función de utilidad indirecta,

\[ v(\textbf{p},y) = y(p_1^r + p_2^r)^{-1/r} \]

para cualquier \(\textbf{p}\) y nivel de ingreso \(y\).

  • Verifique que \(e(\textbf{p},v(\textbf{p},y)) = y\)