Exkurs: Die t-Verteilung

William S. Gosset, Pseudonym: Student hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Seine t-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.

Die t-Werte hängen vom Signifikanzniveau sowie von der Stichprobengrösse \(n\) ab und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die t-Verteilung wird mit wachsendem Stichprobenumfang schmaler und geht für grosse Stichprobenumfänge in die Normalverteilung über (siehe Grafik unten). Hypothesentests, bei denen die t-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests bzw. Student’s t-Test. mod. nach Wikipedia

Hier ein kurzes Video zur Frage, was William S. Gosset, Bierbrauen und Statistik miteinander verbindet The Brewer Who Secretly Revolutionized Statistics, Youtube, EN, 5m46s

Merke

  • Für die praktische Arbeit gilt, dass die \(t\)-Verteilung als Anpassung der Normalverteilung für kleine Stichprobenumfänge aufgefasst werden kann. Ab einem Stichprobenumfang von n > 30 (dieser Grenzwert ist unter Fachleuten umstritten, aber wir arbeiten damit) entspricht sie annähernd der Normalverteilung. Der \(t\)-Wert, den Statistikprogramme berechnen, kann analog zu den \(z\)-Werten interpretiert werden.
  • Die Form der \(t\)-Verteilung ist abhängig vom Stichprobenumfang \(n\). Dieser wird in Freiheitsgraden (degrees of freedom, \(df\) angegeben), wobei \(df = n - 1\).

Praxis: Hypothesentests für quantitative Daten

Vorgehen

  1. Hypothesen \(H_0\) und \(H_A\) formulieren. Sind diese einseitig oder zweiseitig formuliert?
  2. Signifikanzniveau festlegen. I.d.R. \(\alpha < .05\)
  3. Sind die Daten gepaart (paired) oder unabhängig (independent)?
  4. Prüfgrösse bestimmen:
    • für unabhängige Daten: \(\mu_2 - \mu_1\) (Differenz der Mittelwerte)
    • für gepaarte Daten: \(\mu_{diff}\) (Mittelwert der paarweisen Differenzen)
    • wenn Sie sich für nicht-parametrische Tests entscheiden, ersetzen sie \(\mu\) durch \(Md\) bzw \(\tilde{x}\) (Median)
  5. Stichprobenumfang prüfen
    • \(n < 30\): nichparametrischen Test (Wilcoxon) wählen.
    • unterschiedliche Stichprobenumfänge bei unabhängigen Daten: nichtparametrischen Test (Wilcoxon) wählen.
  6. Verteilung der Prüfgrösse untersuchen
    • Daten sind annähernd normalverteilt: \(t\)-Test wählen
    • Daten sind nicht normalverteilt: nichtparametrischen Test (Wilcoxon) wählen
    • Unterschiedliche Varianzen bei unabhängigen Daten: nichtparametrischen Test (Wilcoxon) wählen.
  7. Vertrauensintervalle für die Prüfgrösse berechnen (jamovi > Register Analyses > T-Tests > Additional Statistics: Mean Difference)
  8. Gewählten Test durchführen: \(t\)- und \(p\)-Wert bestimmen (jamovi >> T-Tests)
  9. Schlussfolgerung ziehen und das Ergebnis im Zusammenhang mit der Forschungsfrage interpretieren.

Hinweis zu jamovi

  • Der Wilcoxon Rangsummen-Test für unabhängige Daten heisst hier Man-Whitney-U.
  • Der Wilcoson Vorzeichenrang-Test für gepaarte Daten heist in jamovi Wilcoxon Rank.

Übung 1

Aufgabe

Diese Übung machen wir von Hand, um das Prinzip zu verstehen.

Eine Kaffeekette betreibt eine Filiale in Basel und eine Filiale in Bern. Die Berner Kolleginnen erzählen, dass sie mehr Caffè Latte (mittlere Grösse) in Bern als in Basel für das gleiche Geld erhalten. Sie können das nicht glauben und wollen der Sache auf den Grund gehen. Ihre Frage ist: Unterscheiden sich die Kaffeemengen an den Standorten Basel und Bern?

Als erstes sammeln Sie Daten: Sie kaufen an beiden Standorten 20 Becher Caffè Latte mittlerer Grösse. Sie messen jeweils die Mengen in ml. Ihre Auswertung kommt zu folgendem Ergebnis:

Ort n m s
Bern 20 311.7 22.8
Basel 20 301.9 8.4


  1. Formulieren Sie ihre Hypothese.
  2. Berechnen sie die Vertrauensintervalle für die Kaffeemengen von Bern und Basel
  3. Berechnen sie den t-Wert für den Mittelwertsvergleich.
  4. Formulieren Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen.

Hinweise:

  • Wir legen das Signifikanzniveau auf \(\alpha = .05\) fest.

  • Das Vorgehen ist vergleichbar mit den Übungen zu den Einstichproben-Tests. Allerdings haben Sie jetzt zwei Mittelwerte und zwei Standardabweichungen. Für die Berechnung von \(SE\) müssen sie deshalb aus diesen beiden Standardabweichungen den gemeinsamen Standardfehler \(SE_{pooled}\) berechnen nach der (etwas vereinfachten) Formel:

\[SE_{pooled} = \sqrt{\frac{s_{Bern}^2}{n_{Bern}} + \frac{s_{Basel}^2}{n_{Basel}}}\]

  • Die Berechnung des t-Werts erfolgt nach der Formel

\[t = \frac{\bar{x}_{Bern} - \bar{x}_{Basel}}{SE_{pooled}}\]

  • Die Anzahl Freiheitsgrade \(df\) ist

\[df = n_1 + n_2 - 2 = n_{Bern} + n_{Basel} - 2\]


Lösung

  1. Formulieren Sie ihre Hypothese.
  • \(H_0\) : Die Kaffeemengen von Bern und Basel unterscheiden sich nicht. \(\mu_{Basel} = \mu_{Bern}\).
  • \(H_A\) : Die Kaffeemengen von Bern und Basel unterscheiden sich. \(\mu_{Basel} \neq \mu_{Bern}\).
  1. Berechnen sie die Vertrauensintervalle für die Kaffeemengen von Bern und Basel.
  • Wenn Sie die Vertrauensintervalle nicht von Hand rechnen wollen, können Sie diesen Code kopieren und in jamovi: Rj-Editor eingeben.
## Code für Rj-Editor

# Kennzahlen in Variablen erfassen
n <- 20            # beide Stichprobenumfänge betragen n = 20
m_Bern <- 311.7    # durchschnittliche Kaffeemenge in Bern
s_Bern <- 22.8     # Standardabweichung in Bern
m_Basel <- 301.9   # durchschnittliche Kaffeemenge in Basel
s_Basel <- 8.4     # Standardabweichung in Basel

# 95%-CI für Bern berechnen
se_Bern <- s_Bern/sqrt(n)               # SE für Bern
ci_Bern <- m_Bern + c(-2, 2) * se_Bern  # Grenzen für 95%-CI
ci_Bern <- round(ci_Bern, 2)            # 95%-CI auf zwei Stellen runden

# CI für Basel
se_Basel <- s_Basel/sqrt(n)                # SE für Basel
ci_Basel <- m_Basel + c(-2, 2) * se_Basel  # Grenzen für 95%-CI Basel
ci_Basel <- round(ci_Basel, 2)             # 95%-CI auf zwei Stellen runden

# 95%-CIs anzeigen
ci_Basel
## [1] 298.14 305.66
ci_Bern
## [1] 301.5 321.9
  • In Bern beinhaltet ein Becher Kaffee im Durchschnitt 311.7 [301.5, 321.9] ml, in Basel im Durchschnitt 301.9 [298.1, 305.7] ml. Mit Blick auf die Mittelwerte scheint die Aussage ihrer Berner Kollegin zu stimmen. Wenn wir allerdings die Vertrauensintervalle betrachten, sehen wir, dass sich diese überschneiden. Daher besteht keine Evidenz dafür, dass die Kaffeemengen in Bern und Basel unterschiedlich sind und wir können die \(H_0\) nicht verwerfen.


  1. Berechnen sie den t-Wert für den Mittelwertsvergleich.
# gemeinsamen Standardfehler berechnen (vereinfacht)
se_pooled <- sqrt((s_Bern^2/n) + (s_Basel^2/n))
se_pooled  # se_pooled anzeigen
## [1] 5.433231
# t-Wert berechnen
t_Wert <- (m_Basel - m_Bern)/se_pooled
t_Wert     # t_Wert anzeigen
## [1] -1.803715
  • Der t-Wert für die Differenz der Kaffeemengen beträgt -1.804. Damit ist der Wert kleiner als +2/-2 Standardfehler und liegt im Nicht-Verwerfungsbereich für die \(H_0\).

# p-Wert für 2-seitige Hypothese berechnen
p_value <- 2 * pt(t_Wert, df = 38)
p_value
## [1] 0.0792084
  • Der p-Wert ist mit 0.079 > 0.05. Wir haben keine Evidenz dafür, dass sich die Kaffeemengen in Bern und Basel signifikant unterscheiden und verwerfen \(H_0\) nicht.


  1. Formulieren Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen.
  • Die durchschnittliche Kaffeemenge in der Filiale in Bern (311.7 [301.5, 321.9] ml) und in der Filiale in Basel (301.9 [298.1, 305.7] ml) unterscheiden sich nicht, t = -1.804, df = 38, p = 0.079.


Übung 2

Laden Sie die Datei caffe.csv in jamovi. jamovi erkennt die Datentypen automatisch korrekt.

Codebook: Der Datensatz umfasst zwei Variablen

Variable Beschreibung
Ort Ort der Datenerhebung: Bern, Basel
Menge Kaffeemenge in ml

Aufgabe

  1. Laden Sie den Datensatz in jamovi.
  2. Formulieren Sie ihre Hypothese.
  3. Beschreiben Sie die Daten deskriptiv. Erstellen Sie ein Boxplot für den Vergleich der Kaffeemengen in Bern und Basel.
  4. Wählen Sie den richtigen t-Test aus (gemäss der Entscheidungskriterien müssten wir hier einen Man-Whitney-U-Test wählen, da n < 30, wir wählen aber den t-Test um das Ergebnis mit der Übung 1 zu vergleichen). Erstellen Sie auch eine Grafik für den Vergleich der 95%-Vertrauensintervalle.
  5. Kopieren Sie den jamovi-Output in ein Word-Dokument und beschriften Sie die Tabellen und Grafiken so, dass sie selbsterklärend sind. Formulieren Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen.


Lösung

  1. Formulieren Sie ihre Hypothese.
  • \(H_0\) : Die Kaffeemengen von Bern und Basel unterscheiden sich nicht. \(\mu_{Basel} = \mu_{Bern}\).
  • \(H_A\) : Die Kaffeemengen von Bern und Basel unterscheiden sich. \(\mu_{Basel} \neq \mu_{Bern}\).
  1. Beschreiben Sie die Daten deskriptiv und erstellen Sie ein Boxplot für den Vergleich der Kaffeemengen in Bern und Basel.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                
 ─────────────────────────────────────────── 
                         Ort      Menge      
 ─────────────────────────────────────────── 
   N                     Basel          20   
                         Bern           20   
   Missing               Basel           0   
                         Bern            0   
   Mean                  Basel    301.9167   
                         Bern     311.6981   
   Std. error mean       Basel    1.886762   
                         Bern     5.101277   
   Median                Basel    302.8347   
                         Bern     313.4055   
   Standard deviation    Basel    8.437858   
                         Bern     22.81360   
   Minimum               Basel    281.8530   
                         Bern     276.2918   
   Maximum               Basel    317.6032   
                         Bern     349.8080   
 ─────────────────────────────────────────── 

```
## Warning: The `size` argument of `element_line()` is deprecated as of ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use the `linewidth` argument instead.
## ℹ The deprecated feature was likely used in the jmvcore package.
##   Please report the issue at .
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
```
  • Der korrekt beschriftete Plot könnte etwa so aussehen:


  1. Wählen Sie den richtigen \(t\)-Test aus. Erstellen Sie auch eine Grafik für den Vergleich der 95%-Vertrauensintervalle.
  • Es handelt sich um unabhängige Daten, daher wählen wir den independent samples t-test.
  • Wählen sie den Student’s Test und unter Additional Statistics > Descriptive plots.
  • Gegenüber der Berechnung von Hand ergeben sich geringfügige Rundungsfehler.
 INDEPENDENT SAMPLES T-TEST

 Independent Samples T-Test                                       
 ──────────────────────────────────────────────────────────────── 
                           Statistic      df          p           
 ──────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Menge    Student's t    -1.798387 ᵃ    38.00000    0.0800633   
 ──────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ Basel ≠ μ Bern
   ᵃ Levene's test is significant (p < .05), suggesting a
   violation of the assumption of equal variances


  1. Formulieren Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen.
  • Die durchschnittliche Kaffeemenge in Bern (311.7 [301.5, 321.9] ml) und in Basel (301.9 [298.1, 305.7] ml) unterscheiden sich nicht signifikant, t = -1.798, df = 38, p = 0.080.



Übung 3

Arbeiten Sie mit dem Datensatz physio.csv bzw. physio.omv, den Sie bereits früher erstellt haben.


Aufgabe

Untersuchen Sie, ob sich Studentinnen und Studenten in ihrer Körpergrösse unterscheiden.

  1. Laden Sie den Datensatz physio.omv in jamovi.
  2. Formulieren Sie ihre Hypothesen.
  3. Beschreiben Sie die Daten deskriptiv. Erstellen Sie ein Boxplot für den Vergleich der Körpergrössen von Studentinnen und Studenten.
  4. Prüfen Sie die Testvoraussetzungen und wählen Sie einen statistischen Test. Erstellen Sie auch eine Grafik für den Vergleich der 95%-Vertrauensintervalle.
  5. Kopieren Sie den jamovi-Output in ein Word-Dokument und beschriften Sie die Tabellen und Grafiken so, dass sie selbsterklärend sind. Formulieren Sie ihr Resultat.

Lösung

  1. Formulieren Sie ihre Hypothese.
  • \(H_0\) : Die Körpergrössen von Studentinnen (w) und Studenten (m) unterscheiden sich nicht. \(\mu_{w} = \mu_{m}\).
  • \(H_A\) : Die Körpergrössen von Studentinnen (w) und Studenten (m) unterscheiden sich. \(\mu_{w} \neq \mu_{m}\).
  1. Beschreiben Sie die Daten deskriptiv. Erstellen Sie ein Boxplot für den Vergleich der Körpergrössen von Studentinnen und Studenten.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                     
 ──────────────────────────────────────────────── 
                         Geschlecht    Groesse    
 ──────────────────────────────────────────────── 
   N                     m                   45   
                         w                  183   
   Missing               m                    0   
                         w                    0   
   Mean                  m             179.8667   
                         w             166.9235   
   Median                m             180.0000   
                         w             167.0000   
   Standard deviation    m             6.387488   
                         w             5.664100   
   Minimum               m             169.0000   
                         w             148.0000   
   Maximum               m             198.0000   
                         w             183.0000   
 ────────────────────────────────────────────────


  1. Prüfen Sie die Testvoraussetzungen und wählen Sie einen statistischen Test. Erstellen Sie auch eine Grafik für den Vergleich der 95%-Vertrauensintervalle.
  • Die Daten sind unabhängig.
  • Die Hypothesen sind zweiseitig formuliert.
  • Median und Mittelwert unterscheiden sich in beiden Gruppen kaum, das spricht für Normalverteilung der Daten.
  • Die Boxplots sind weitgehend symmetrisch (vielleicht leicht rechtssteil), das spricht für Normalverteilung der Daten.
  • Die QQ-Plots sind weitgehend linear, das spricht für Normalverteilung
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                   
 ────────────────────────────── 
        Geschlecht    Groesse   
 ────────────────────────────── 
   N    m                  45   
        w                 183   
 ──────────────────────────────
  • Die Stichprobenumfänge in den beiden Gruppen (\(n_w\) = 183, \(n_m\) = 45) unterscheiden sich stark.

Testentscheid: Auf Grund der grossen Unterschiede in den Stichprobenumfängen entscheiden wir uns für den Wilcoxon-Rangsummen-Test (Man-Whitney-U). Zum Vergleich führen wir aber auch den Zwei-Stichproben-\(t\)-Test durch.

## 
##  INDEPENDENT SAMPLES T-TEST
## 
##  Independent Samples T-Test                                                                                                       
##  ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
##                                 Statistic    df          p             Mean difference    SE difference    Lower       Upper      
##  ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
##    Groesse    Student's t        13.38380    226.0000    < .0000001           12.94317        0.9670772    11.03753    14.84881   
##               Mann-Whitney U     486.5000                < .0000001           12.99992                     10.99997    15.00004   
##  ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
##    Note. Hₐ μ <sub>m</sub> ≠ μ <sub>w</sub>

Output lesen und verstehen:

  1. Student’s t

    • Statistic = t-Wert = t = 13.38
    • df = degrees of freedom = \(n_w + n_m - 2\) = 228 - 2 = 226
    • p = p-Wert < .001
    • Mean difference = \(\mu_m - \mu_w\) = 12.94
    • SE difference = Standardfehler für die Differenz der Mittelwerte = .9671
    • Lower = Untere Grenze des 95%-CI für die Differenz der Mittelwerte = 11.04
    • Upper = Obere Grenze des 95%-CI für die Differenz der Mittelwerte = 14.85


  1. Man-Whitney-U

    • Statistic: Teststatistik U = 486.5 (diesen Wert interpretieren wir nicht!)
    • p = p-Wert < .001
    • Mean difference = \(Md_m - Md_w\) (Differenz der Mediane)
    • Lower: Untere Grenze des 95%-CI für die Differenz der Mediane = 13
    • Upper: Obere Grenze des 95%-CI für die Differenz der Mediane = 15


  1. Grafik 95% CI

    • zeigt die Vertrauensintervalle für \(\mu_m\) und \(\mu_w\).
    • Die Vertrauensintervalle überschneiden sich nicht.
    • Zusatzfrage: Warum ist das Vertrauensintervall für \(\mu_w\) schmaler als für \(\mu_m\)?
  • Mit diesen Resulten besteht Evidenz dafür, dass sich Studentinnen und Studenten in der druchschnittlichen Körpergrösse unterscheiden. Da p < .05 ist, verwerfen Sie \(H_0\) zugunsten von \(H_A\).
  1. Kopieren Sie den jamovi-Output in ein Word-Dokument und beschriften Sie die Tabellen und Grafiken so, dass sie selbsterklärend sind. Formulieren Sie ihr Resultat.

  • Merke: Wir haben uns auf Grund der Entscheidungskriterien für den Wilcoxon-Test entschieden, daher werden in einem Bericht nur diese Ergebnisse präsentiert. Zu Übungszwecken wird unten zusätzlich das Ergebnis für den t-Test formuliert!

  • für den Wilcoxon-Test: Geprüft wurde die Frage, ob sich Physiotherapie-Studentinnen und -Studenten in ihrer Körpergrösse unterscheiden. In Stichproben aus den Studienjahrgängen PHY13 - PHY17 (\(n_w\) = 183, \(n_m\) = 45) wurde die Körpergrösse gemessen. Studenten sind im Durchschnitt (Median) um 13 [11, 15] cm grösser als Studentinnen, Man-Whitney-\(U\) = 486.5, \(p\) < .001.

  • für den \(t\)-Test: Geprüft wurde die Frage, ob sich Physiotherapie-Studentinnen und -Studenten in ihrer Körpergrösse unterscheiden. In Stichproben aus den Studienjahrgängen PHY13 - PHY17 (\(n_w\) = 183, \(n_m\) = 45) wurde die Körpergrösse gemessen. Studenten sind im Durchschnitt um 12.94 [11.04, 14.85] cm grösser als Studentinnen, \(t\) = 13.38, \(df\) = 226, \(p\) < .001.

  • Antwort auf die Zusatzfrage unter 3: Je grösser der Stichprobenumfang, desto kleiner wird \(SE = \frac{s}{\sqrt{n}}\), desto schmaler das 95%-Konfidenzintervall.



Übung 4

Ein Gefängnisaufenthalt ist mit psychischem Stress verbunden. Eine Möglichkeit, diesen Stress abzubauen ist sportliche Betätigung. Ein Studie hat den Stresslevel von 26 Gefängnissinsassen bei Ein- und Austritt mittels Fragebogen untersucht. Ein Teil der Gefangenen erhielt ein sportliches Training.

Laden Sie die Datei prisonStress.csv in jamovi.

Codebook: Der Datensatz umfasst 5 Variablen

Variable Beschreibung jamovi-Skalenniveau
Subject anonyme ID nominal-text
Group Gruppe sport oder control nominal-text
PSSbefore Stresslevel (Assessment-Score) bei Eintritt continuous-integer
PSSafter Stresslevel (Assessment-Score) bei Austritt continuous-integer
Diff Paarweise Differenzen (PSSafter - PSSbefore) continuous-integer

Aufgabe

  1. Laden Sie den Datensatz in jamovi und kategorisieren Sie die Variablen.
  2. Frage: Haben beide Gruppen bei Eintritt den gleichen Stresslevel?
  3. Frage: Haben beide Gruppen bei Austritt den gleichen Stresslevel?
  4. Frage: Besteht ein Unterschied im Stresslevel zwischen Ein- und Austritt in der Kontrollgruppe?
  5. Frage: Besteht ein Unterschied im Stresslevel zwischen Ein- und Austritt in der Sportgruppe?
  6. Frage: Hat Sport einen Effekt auf den Stresslevel im Vergleich zu einer Kontrollgruppe, die keinen Sport macht?

Führen Sie für alle Fragen eine vollständige statistische Analyse durch.

Lösung 1

Fragestellung: Haben beide Gruppen bei Eintritt den gleichen Stresslevel?

  1. Hypothesen

    • \(H_0\) Es besteht kein Unterschied im Stresslevel der Gruppen Sport und Kontrolle bei Eintritt, \(\mu_{con,before} = \mu_{sport,before}\)
    • \(H_A\) Es besteht ein Unterschied im Stresslevel der Gruppen Sport und Kontrolle bei Eintritt, \(\mu_{con,before} \neq \mu_{sport,before}\)

  2. Das Signifikanzniveau legen wir bei \(\alpha = .05\) fest.

  3. Die Daten sind unabhängig.

  4. Die Prüfgrösse ist \(\mu_{con,before} - \mu_{sport,before}\)

  5. Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist n < 30, was für den nichtparametrischen Man-Whitney-U-Test spricht

 DESCRIPTIVES

 Descriptives                      
 ───────────────────────────────── 
              Group      Subject   
 ───────────────────────────────── 
   N          Control         11   
              Sport           15   
   Missing    Control          0   
              Sport            0   
 ─────────────────────────────────
  • Der Stichprobenumfang der Kontrollgruppe beträgt n = 11, der Sportgruppe n = 15.


  1. Die Verteilung der Prüfgrösse anhand der Box im Boxplot ergibt eine leicht rechtssteile Verteilung in der Kontrollgruppe und etwa Normalverteilung in der Sportgruppe Die QQ-Plots sind wenig aussagekräftig. Die Streuung der Daten ist unterschiedlich.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                   
 ────────────────────────────────────────────── 
                         Group      PSSbefore   
 ────────────────────────────────────────────── 
   N                     Control           11   
                         Sport             15   
   Missing               Control            0   
                         Sport              0   
   Mean                  Control     16.36364   
                         Sport       23.93333   
   Median                Control     15.00000   
                         Sport       23.00000   
   Standard deviation    Control     10.74498   
                         Sport       7.487768   
   Minimum               Control     0.000000   
                         Sport       12.00000   
   Maximum               Control     30.00000   
                         Sport       44.00000   
 ──────────────────────────────────────────────
  • Die Prüfung der Testbedingungen legt nichtparametrische Verfahren zur statistischen Analyse nahe: Stichprobenumfänge < 30 sowie unterschiedlich grosse Stichprobenumfänge.
  1. Vertrauensintervalle für die Prüfgrösse und Teststatistik bestimmen

  • jamovi > Register Analyses > T-Tests > Independent Samples T-Test > Dependent Variables: PSSbefore, Grouping Variable: Group, Häkchen bie Tests: Welch’s, Mann-Whitney-U, Häckchen bei Additional Statistics: Mean Difference, Confidence interval

    • Man-Whitney-U-Test: U = 52.5, p = .1249
    • Zum Vergleich führen wir noch einen WElch-Test durch. Dieser korrigiert den t-Test für die unterschiedlichen Varianzen: t =-2.006, df = 16.86, p = .0611, Merke: generell sollte an Stelle des Student’s t-Test immer der Welch-Test verwendet werden
    • Mann-Whitney-U: Das 95% Vertrauensintervall für \(Md_{con,before} - Md_{sport,before}\) schliesst 0 ein: -7.0 [-15.0; 2.0]
    • Welch: Das 95% Vertrauensintervall für \(\mu_{con,before} - \mu_{sport,before}\) schliesst 0 ein: -7.6 [15.5; 0.4]
 INDEPENDENT SAMPLES T-TEST

 Independent Samples T-Test                                                                                                          
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                                  Statistic    df          p            Mean difference    SE difference    Lower        Upper       
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   PSSbefore    Welch's t         -2.006413    16.86303    0.0611237          -7.569697         3.772750    -15.53443    0.3950385   
                Mann-Whitney U     52.50000                0.1249161          -6.999969                     -15.00004     1.999951   
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ Control ≠ μ Sport


  1. Resultat, Schlussfolgerung
  • Der Stresslevel bei Eintritt ins Gefängnis ist in der Kontrollgruppe (n = 11) im Durchschnitt (Median) um -7.0 [-15.0; 2.0] Punkte tiefer als in der Sportgruppe (n = 15). Es liegt jedoch keine Evidenz dafür vor, dass sich die beiden Gruppen im Stresslevel bei Eintritt ins Gefängnis signifikant unterscheiden, Man-Whitney-U = 52.5, p = .125.


Lösung 2

Fragestellung: Haben beide Gruppen bei Austritt den gleichen Stresslevel?

  1. Hypothesen

    • \(H_0\) Es besteht kein Unterschied im Stresslevel der Gruppen Sport und Kontrolle bei Austritt, \(\mu_{con,after} = \mu_{sport,after}\)
    • \(H_A\) Es besteht ein Unterschied im Stresslevel der Gruppen Sport und Kontrolle bei Austritt, \(\mu_{con,after} \neq \mu_{sport,after}\)

  2. Das Signifikanzniveau legen wir bei \(\alpha = .05\) fest.

  3. Die Daten sind unabhängig.

  4. Die Prüfgrösse ist \(\mu_{con,after} - \mu_{sport,after}\).

  5. Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist n < 30, was für Man-Whitney-U-Test spricht.

  6. Die Verteilung der Prüfgrösse anhand der Box im Boxplot ergibt eine leicht rechtssteile Verteilung in beiden Gruppen. Die QQ-Plots sind wenig aussagekräftig. Die Streuung der Daten ist ähnlich.

 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                  
 ───────────────────────────────────────────── 
                         Group      PSSafter   
 ───────────────────────────────────────────── 
   N                     Control          11   
                         Sport            15   
   Missing               Control           0   
                         Sport             0   
   Mean                  Control    23.72727   
                         Sport      20.00000   
   Median                Control    26.00000   
                         Sport      21.00000   
   Standard deviation    Control    7.114646   
                         Sport      6.907553   
   Minimum               Control    9.000000   
                         Sport      8.000000   
   Maximum               Control    33.00000   
                         Sport      33.00000   
 ─────────────────────────────────────────────
  • Die Prüfung der Testbedingungen (n < 30, rechtssteile Verteilungen, unterschiedliche Stichprobenumfänge) legt nichtparametrische Verfahren zur statistischen Analyse nahe.


  1. Vertrauensintervalle für die Prüfgrösse und Teststatistik bestimmen

  • jamovi > Register Analyses > T-Tests > Independent Samples T-Test > Dependent Variables: PSSafter, Grouping Variable: Group, Häkchen bie Tests: Welch’s, Mann-Whitney-U, Häckchen bei Additional Statistics: Mean Difference, Confidence interval

    • Man-Whitney-U-Test: U = 108.5, p = .185
    • Zum Vergleich: Der Welch-Test korrigiert den t-Test für die unterschiedlichen Varianzen: t =1.336, df = 21.32, p = .1956
    • Mann-Whitney-U: Das 95% Vertrauensintervall für \(Md_{con} - Md_{sport}\) schliesst 0 ein: 4.0 [-3.0; 9.0].
    • Welch’s: Das 95% Vertrauensintervall für \(\mu_{con} - \mu_{sport}\) schliesst 0 ein: 3.7 [-2.1; 9.5].
 INDEPENDENT SAMPLES T-TEST

 Independent Samples T-Test                                                                                                        
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                                 Statistic    df          p            Mean difference    SE difference    Lower        Upper      
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   PSSafter    Welch's t          1.336068    21.32508    0.1956106           3.727273         2.789732    -2.068912    9.523458   
               Mann-Whitney U     56.50000                0.1850090           4.000044                     -2.999948    9.000051   
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ Control ≠ μ Sport
  1. Schlussfolgerung
  • Der Stresslevel bei aus dem Gefängnis ist in der Kontrollgruppe (n = 11) im Durchschnitt (Median) um 4.0 [-3.0; 9.0] Punkte höher als in der Sportgruppe (n = 15). Es liegt jedoch keine Evidenz dafür vor, dass sich die beiden Gruppen im Stresslevel bei Austritt aus dem Gefängnis signifikant unterscheiden, Man-Whitney-U = 56.5, p = 0.185.


Lösung 3

Fragestellung: Besteht ein Unterschied im Stresslevel zwischen Ein- und Austritt in der Kontrollgruppe?

  • Tipp: Erstellen Sie in jamovi einen Filter = Group == Control.


  1. Hypothesen

    • \(H_0:\) Es besteht kein Unterschied im Stresslevel in der Kontrollgruppe zwischen Ein- und Austritt, \(\mu_{con,diff} = 0\) (Mittelwert der paarweisen Differenzen!)
    • \(H_A:\) Es besteht ein Unterschied im Stresslevel in der Kontrollgruppe bei Eintritt, \(\mu_{con,diff} \neq 0\)

  2. Das Signifikanzniveau legen wir bei \(\alpha = .05\) fest.

  3. Die Daten sind gepaart (2 Messungen pro Proband:in)

  4. Die Prüfgrösse ist \(\mu_{con,diff}\) . Die paarweisen Differenzen sind im Datensatz in der Variablen Diff abgelegt.

  5. Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist n < 30, was für den Wilcoxon-Vorzeichenrang-Test spricht.


  1. Die Verteilung der Prüfgrösse Diff anhand von Boxplot und QQ-Plot ist auf Grund der geringen Datenmenge wenig zuverlässig zu interpretieren; es scheint aber nichts dagegen zu sprechen, dass die Daten aus einer normalverteilten Population stammen.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                        
 ─────────────────────────────────── 
                         Diff        
 ─────────────────────────────────── 
   N                            11   
   Missing                       0   
   Mean                   7.363636   
   Median                 7.000000   
   Standard deviation     9.233339   
   Minimum               -8.000000   
   Maximum                20.00000   
 ───────────────────────────────────
  • Die paarweisen Differenzen scheinen im QQ-Plot normalverteilt zu sein. Die Prüfung der weiteren Testbedingungen (n < 30) legt jedoch nichtparametrische Verfahren zur statistischen Analyse nahe. Wir führen aber übungshalber auch den t-Test für gepaarte Daten durch

  1. Vertrauensintervalle für die Prüfgrösse und Teststatistik bestimmen

  • jamovi > Register Analyses > T-Tests > Paired Samples T-Test > Paired Variables: PSSafter, PSSbefore (Achtung: Reihenfolge beachten, PSSafter sollte links, PSSafter sollte rechts im Paired-Variables-Fenster stehen) > Tests: Häkchen bei Student’s t und Wilcoxon rank setzen > Additional Statistics: Häkchen bei Mean difference und Confidence Interval setzen.

  • Als Alternative können Sie auch einen Einstichproben-t-Test für die Variable Diff durchführen: jamovi > Register Analyses > T-Tests > One Sample T-Test > Dependent Variables: Diff > Tests: Student’s, Wilcoxon rank > Hypothesis: Test value = 0 > Additional Statistics: Häkchen bei Mean difference und Confidence Interval setzen.

    • Wilcoxon rank-Test: V = 47.5, p = .0466
    • Paired Samples T-Test: t = 2.645, df = 10, p = .0245
    • Wilcoxon rank: Das 95% Vertrauensintervall für \(Md_{con,diff}\) beinhaltet den Nullwert knapp nicht: 8.0 [0.00003; 16]
    • Student’s t-Test: Das 95% Vertrauensintervall für \(\mu_{con,diff}\) beinhaltet den Nullwert nicht: 7.4 [1.2; 13.6]
 PAIRED SAMPLES T-TEST

 Paired Samples T-Test                                                                                                                         
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                                           statistic    df          p            Mean difference    SE difference    Lower          Upper      
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   PSSafter    PSSbefore    Student's t     2.645026    10.00000    0.0245215           7.363636         2.783956       1.160595    13.56668   
                            Wilcoxon W      47.50000                0.0465678           7.999930         2.783956    2.612298e-5    15.99996   
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ Measure 1 - Measure 2 ≠ 0


  1. Schlussfolgerung
  • Der Stresslevel bei Austritt aus dem Gefängnis ist in der Kontrollgruppe (n = 11) im Durchschnitt (Median) um 8 Punkte [0.00003; 16.0] höher als beim Eintritt. Es liegt Evidenz dafür vor, dass sich der Stresslevel bei Austritt aus dem Gefängnis signifikant gegenüber dem Stresslevel bei Eintritt erhöht, Wilcoxon Vorzeichenrang-Test V = 47.5, p = 0.047.



Lösung 4

Fragestellung: Besteht ein Unterschied im Stresslevel zwischen Ein- und Austritt in der Sportgruppe?

Tipp: Deaktivieren Sie den Filter = Group == "Control" und erstellen Sie einen Filter = Group == Sport.


  1. Hypothesen

    • \(H_0\) Es besteht kein Unterschied im Stresslevel in der Sportgruppe zwischen Ein- und Austritt, \(\mu_{sport,diff} = 0\) (Mittelwert der paarweisen Differenzen!)
    • \(H_A\) Es besteht ein Unterschied im Stresslevel in der Kontrollgruppe bei Eintritt, \(\mu_{sport,diff} \neq 0\)$

  2. Das Signifikanzniveau legen wir bei \(\alpha = .05\) fest.

  3. Die Daten sind gepaart (2 Messungen pro Proband)

  4. Die Prüfgrösse ist \(\mu_{sport,diff}\)

  5. Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist n < 30, was für Wilcoxon-Vorzeichenrang-Test spricht.


  1. Die Verteilung der Prüfgrösse Diff anhand von Boxplot und QQ-Plot ist auf Grund der geringen Datenmenge wenig zuverlässig zu interpretieren.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                        
 ─────────────────────────────────── 
                         Diff        
 ─────────────────────────────────── 
   N                            15   
   Missing                       0   
   Mean                  -3.933333   
   Median                -4.000000   
   Standard deviation     5.675343   
   Minimum               -15.00000   
   Maximum                4.000000   
 ───────────────────────────────────
  • Die Prüfung der Testbedingungen legt nichtparametrische Verfahren zur statistischen Analyse nahe: asymmetrischer Boxplot, QQ-Plot unsicher zu beurteilen.


  1. Vertrauensintervalle für die Prüfgrösse und Teststatistik bestimmen

  • Achtung: Filter muss = Group == Sport sein. Alle anderen Filter müssen deaktiviert sein.

  • jamovi > Register Analyses > T-Tests > Paired Samples T-Test > Paired Variables: PSSafter, PSSbefore (Achtung: Reihenfolge beachten, PSSafter sollte links, PSSafter sollte rechts im Paired-Variables-Fenster stehen) > Tests: Häkchen bei Student’s t und Wilcoxon rank setzen > Additional Statistics: Häkchen bei Mean difference und Confidence Interval setzen.

  • Als Alternative können Sie auch einen Einstichproben-t-Test für die Variable Diff durchführen: jamovi > Register Analyses > T-Tests > One Sample T-Test > Dependent Variables: Diff > Tests: Student’s, Wilcoxon rank > Hypothesis: Hypothesis: Test value = 0 > Additional Statistics: Häkchen bei Mean difference und Confidence Interval setzen.

    • Wilcoxon Vorzeichenrang-Test: W = 20, p = .0246
    • Paired Samples t-Test: t = -2.6842, df = 14, p = .0178
    • Das 95% Vertrauensintervall für \(Md_{sport,diff}\) beinhaltet den Nullwert nicht: -3.6 [-7.0, -0.5.0].
    • Das 95% Vertrauensintervall für \(\mu_{sport,diff}\) beinhaltet den Nullwert nicht: -3.9 [-7.08, -0.790].
 PAIRED SAMPLES T-TEST

 Paired Samples T-Test                                                                                                                         
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                                           statistic    df          p            Mean difference    SE difference    Lower        Upper        
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   PSSafter    PSSbefore    Student's t    -2.684196    14.00000    0.0177988          -3.933333         1.465367    -7.076234    -0.7904329   
                            Wilcoxon W      20.00000                0.0246061          -3.578883         1.465367    -7.000009    -0.4999976   
 ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ Measure 1 - Measure 2 ≠ 0


  1. Schlussfolgerung
  • Der Stresslevel bei Austritt aus dem Gefängnis ist in der Sportgruppe (n = 15) im Durchschnitt (Median) um 3.6 Punkte [-7.0; -0.5] tiefer als beim Eintritt. Es liegt Evidenz dafür vor, dass sich der Stresslevel bei Austritt aus dem Gefängnis in der Sportgruppe gegenüber dem Stresslevel bie Eintritt signifikant senkt, Wilcoxon Vorzeichenrang-Test W = 20, p = 0.0246.


Lösung 5

Fragestellung: Hat Sport einen Effekt auf den Stresslevel im Vergleich zu einer Kontrollgruppe, die keinen Sport macht?

Wir vergleichen in dieser Frage den Effekt Diff in den beiden Gruppen Sport und Control. Zur Analyse dieser Frage müssen alle Filter in jamovi deaktiviert werden!

  1. Hypothesen

    • \(H_0\) Sport hat keinen Effekt, \(\mu_{diff,sport} = \mu_{diff,con}\)
    • \(H_A\) Sport hat einen Effekt, \(\mu_{diff,sport} \neq \mu_{diff,con}\)

  2. Das Signifikanzniveau legen wir bei \(\alpha = .05\) fest.

  3. Die Daten sind unabhängig.

  4. Die Prüfgrösse ist \(\mu_{diff,sport} = \mu_{diff,con}\)

  5. Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist n < 30, was für Man-Whitney-U-Test spricht.


  1. Die Verteilung der Daten in beiden Gruppen anhand von Boxplot und QQ-Plot ist auf Grund der geringen Datenmenge wenig zuverlässig zu interpretieren; es scheint aber nichts dagegen zu sprechen, dass die Daten aus einer normalverteilten Population stammen.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                   
 ────────────────────────────────────────────── 
                         Group      Diff        
 ────────────────────────────────────────────── 
   N                     Control           11   
                         Sport             15   
   Missing               Control            0   
                         Sport              0   
   Mean                  Control     7.363636   
                         Sport      -3.933333   
   Median                Control     7.000000   
                         Sport      -4.000000   
   Standard deviation    Control     9.233339   
                         Sport       5.675343   
   Minimum               Control    -8.000000   
                         Sport      -15.00000   
   Maximum               Control     20.00000   
                         Sport       4.000000   
 ──────────────────────────────────────────────
  • Der Stresslevel hat zwischen Ein- und Austritt in der Kontrollgruppe im durchschnitt um 7.4 Punkte zugenommen und in der Sportgruppe um durchschnittlich -3.9 Punkte abgenommen!
  • Die Prüfung der Testbedingungen (n < 30, unterschiedliche Stichprobenumfänge) legt nichtparametrische Verfahren zur statistischen Analyse nahe.


  1. Vertrauensintervalle für die Prüfgrösse und Teststatistik bestimmen

  • jamovi > Register Analyses > T-Tests > Independent Samples T-Test > Dependent Variables: Diff, Grouping Variable: Group, Häkchen bie Tests: Welch’s, Mann-Whitney-U, Häckchen bei Additional Statistics: Mean Difference, Confidence interval

    • Man-Whitney-U-Test: U = 27.0, p = .004
    • Welch-Test: t = 3.59, df = 15.5, p = .003
    • Mann-Whitney-U: Das 95% Vertrauensintervall für \(Md_{diff,sport} = Md_{diff,con}\) schliesst den Nullwert nicht ein: 12.0 [4.0; 18.0].
    • Das 95% Vertrauensintervall für \(\mu_{diff,sport} = \mu_{diff,con}\) schliesst den Nullwert nicht ein: 11.3 [4.61, 18].
 INDEPENDENT SAMPLES T-TEST

 Independent Samples T-Test                                                                                                   
 ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                             Statistic    df          p            Mean difference    SE difference    Lower       Upper      
 ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Diff    Welch's t          3.590827    15.46102    0.0025647           11.29697         3.146063    4.608668    17.98527   
           Mann-Whitney U     27.00000                0.0042184           11.99995                     4.000072    18.00002   
 ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ Control ≠ μ Sport


  1. Schlussfolgerung
  • Untersucht wurde der Effekt von Sport auf den Stresslevel bei Gefängnisinsassen, die in eine Sport- (n = 15) und eine Kontrollgruppe (n = 11) eingeteilt wurden. In der Kontrollgruppe hat der Stresslevel um durchschnittlich 7.4 Punkte zugenommen und in der Sportgruppe um durchschnittlich -3.9 Punkte abgenommen. Während dem Gefängnisaufenthalt verberssert die Sportgruppe ihren Stresslevel im Vergleich zur Kontrollgruppe im Durchschnitt um (Median) 12.0 [4.0; 18.0] Punkte. Die Daten liefern Evidenz dafür, dass sich Sport günstig auf das Stresslevel im Gefängnis auswirkt, Man-Whitney-U = 27.0, p = .0042.



Übung 5

Unterscheidet sich der BMI von weiblichen und männlichen Physiotherapie-Studierenden?

Wir prüfen diese Frage anhand zweier Zufallsstichproben von 45 männlichen und 45 weiblichen Physiotherapie-Studierenden. Laden Sie den Datensatz bmi_phy_45.csvin jamovi.

Hinweis: Dies ist die gleiche Fragestellung mit den identischen Daten, wie im Video Mittelwertsvergleiche Teil 1, Kap. Zweistichproben-t-Test.

Aufgabe

Führen Sie eine inferenzstatistische Analyse zur Fragestellung durch, ob sich der BMI von weiblichen und männlichen Studierenden unterscheidet. Legen Sie das Signifikanzniveau auf \(\alpha\) = .05 fest.

Codebook: Der Datensatz bmi_phy_45.csv umfasst zwei Variablen. Die Skalenniveaus werden von jamovi automatisch richtig erkannt.

Variable Beschreibung jamovi Skalenniveau
Geschlecht m = männlich, w = weiblich nominal-text
bmi Body Mass Index, \(kg/m^2\) continuous-decimal



Lösung

  1. Deskriptive Zusammenfassung (Kennzahlen)

Es wird empfohlen, stets die wichtigsten Kennzahlen zu berechnen.

  • jamovi > Register Analyses > Exploration > Descriptives > bmi in Variables einfügen, Geschlecht in Split by einfügen. Gewünschte Kennzahlen unter Statistics auswählen.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                     
 ──────────────────────────────────────────────── 
                         Geschlecht    bmi        
 ──────────────────────────────────────────────── 
   N                     m                   45   
                         w                   45   
   Missing               m                    0   
                         w                    0   
   Mean                  m             22.52183   
                         w             20.98392   
   Median                m             22.40818   
                         w             20.93664   
   Standard deviation    m             2.235014   
                         w             1.818249   
   Minimum               m             16.90617   
                         w             17.17532   
   Maximum               m             27.77693   
                         w             24.53896   
 ────────────────────────────────────────────────
  • Die Stichprobenumfänge betragen je 45 Studierende pro Geschlecht.
  • Der durchschnittliche BMI von Studentinnen beträgt ca. 21.0 \(kg/m^2\) und von Studenten ca. 22.5 \(kg/m^2\).
  1. Statistische Hypothesen formulieren
  • \(H_0: \mu_w = \mu_m\)
  • \(H_A: \mu_w \neq \mu_m\)
  1. Signifkanzniveau festlegen
  • \(\alpha\) = .05
  1. Sind die Daten gepaart oder unabhängig?
  • Es besteht kein Zusammenhang zwischen dem BMI von Studenten und von Studentinnen. Es handelt sich um nicht gepaarte (unabhängige) Stichproben.
  1. Prüfgrösse bestimmen
  • Die Prüfgrösse ist die Differenz der Mittelwerte: \(\mu_m - \mu_w\)
  1. Voraussetzungen prüfen

  • Es handelt sich um Zufallsstichproben. Es kann davon ausgegangen werden, dass die Beobachtungseinheiten unabhängig voneinander sind.

  • Der Stichprobenumfang pro Gruppe ist grösser als 30.

  • Normalverteilung für beide Stichproben mittels QQ-Plot prüfen

  • jamovi > Register Analyses > Exploration > bmi in Variables einfügen, Geschlecht in Split by einfügen. Unter Plots > Q-Q Plots > Häkchen bei Q-Q.

 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                     
 ──────────────────────────────────────────────── 
                         Geschlecht    bmi        
 ──────────────────────────────────────────────── 
   N                     m                   45   
                         w                   45   
   Missing               m                    0   
                         w                    0   
   Mean                  m             22.52183   
                         w             20.98392   
   Median                m             22.40818   
                         w             20.93664   
   Standard deviation    m             2.235014   
                         w             1.818249   
   Minimum               m             16.90617   
                         w             17.17532   
   Maximum               m             27.77693   
                         w             24.53896   
 ────────────────────────────────────────────────
  • In beiden Stichproben sind die Daten annähernd normalverteilt.
  1. 95%-Konfidenzintervalle für die Populationsmittelwerte beider Gruppen berechnen
  • jamovi > Register Analyses > Exploration > Descriptives > Mean Dispersion > bei Confidence interval for Mean ein Häkchen setzen, Vorgabe ist der Wert 95 für ein 95%-CI.
## <pre>
## 
##  DESCRIPTIVES
## 
##  Descriptives                                          
##  ───────────────────────────────────────────────────── 
##                               Geschlecht    bmi        
##  ───────────────────────────────────────────────────── 
##    N                          m                   45   
##                               w                   45   
##    Missing                    m                    0   
##                               w                    0   
##    Mean                       m             22.52183   
##                               w             20.98392   
##    95% CI mean lower bound    m             21.85036   
##                               w             20.43765   
##    95% CI mean upper bound    m             23.19331   
##                               w             21.53018   
##    Median                     m             22.40818   
##                               w             20.93664   
##    Standard deviation         m             2.235014   
##                               w             1.818249   
##    Minimum                    m             16.90617   
##                               w             17.17532   
##    Maximum                    m             27.77693   
##                               w             24.53896   
##  ───────────────────────────────────────────────────── 
##    Note. The CI of the mean assumes sample means
##    follow a t-distribution with N - 1 degrees of
##    freedom
## </pre>
  • Leider liefert der Output hier nicht das korrekte Resultat (das jamovi-Package für den verwendeten Editor ist veraltet). Korrekt sind:
    • 95% CI mean lower bound: m = 21.8504, w = 20.4377
    • 95% CI mean upper bound: m = 23.1933, w = 21.5302
  • Physiotherapie-Studentinnen haben einen durchschnittlichen BMI von 20.984 [20.438, 21.530] \(kg/m^2\) und Physiotherapie-Studenten haben einen durchschnittlichen BMI von 22.522 [21.850, 23.193] \(kg/m^2\). Männer haben im Durchschnitt einen um 1.538 [0.684, 2.392] \(kg/m^2\) signifikant höheren BMI als Frauen. Dieses 95%-Konfidenzintervall enthält den Nullwert nicht und wir haben Evidenz gegen die Nullhypothese.
  1. Teststatistik und p-Wert berechnen

  • jamovi > Register Analyses > T-Tests > Independent Samples T-Test > Tests: > Welch’s und unter > Hypothesis Group 1 \(\neq\) Group 2 wählen. Für das 95%-CI der Differenz zwischen den beiden Gruppen unter > Additional Statistics > Mean difference und Confidence interval wählen.

  • Für die grafische Anzeige der 95%-Konfidenzintervalle kann unter Additional Statistics > Descriptive Plots gewählt werden.

 INDEPENDENT SAMPLES T-TEST

 Independent Samples T-Test                                                                                              
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
                       Statistic    df          p            Mean difference    SE difference    Lower        Upper      
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   bmi    Welch's t     3.580680    84.50087    0.0005713           1.537916        0.4295040    0.6838744    2.391958   
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 
   Note. Hₐ μ m ≠ μ w
  1. Schlussfolgerung
  • Der durchschnittliche BMI von Physiotherapie-Studentinnen (20.984 [20.453, 21.515] \(kg/m^2\)) unterscheidet sich signifikant vom durchschnittlichen BMI von Physiotherapie-Studenten (22.522 [21.869, 23.175] \(kg/m^2\)). Physiotherapie-Studenten haben im Durchschnitt einen um 1.538 [0.684, 2.392] \(kg/m^2\) höheren BMI als Physiotherapie-Studentinnen, \(t\) = 3.581, \(df\) = 84.5, \(p\) = 0.0006.



Übung 6

In einer Studie wird der Effekt eines neuen Schlafmittels untersucht. Die Studie wird mit 20 Testpersonen durchgeführt. Zuerst wird die Schlafdauer ohne Medikament, dann die Schlafdauer mit Medikament gemessen.

Laden Sie den Datensatz schlafmittel.csv in jamovi.

Codebook: Der Datensatz umfasst drei Variablen:

Variable Beschreibung jamovi Skalenniveau
Proband Proband:innen-ID nominal-text
ohne_Med Schlafdauer ohne Medikament, h continuous-decimal
mit_Med Schlafdauer mit Medikament, h continuous-decimal

Hinweis: Dies ist die gleiche Fragestellung mit den identischen Daten, wie im Video Mittelwertsvergleiche Teil 1, Kap. t-Test für verbundene Stichproben.


Aufgabe

Hat das neue Schlafmittel einen Effekt auf die Schlafdauer? Führen Sie eine inferenzstatistische Analyse zu dieser Fragestellung durch. Legen Sie das Signifikanzniveau auf \(\alpha\) = .05 fest.



Lösung

  1. Datensatz einlesen und Struktur analysieren
  • Der Datensatz umfasst drei Variablen Proband, ohne_Med und mit_Med von 20 Proband:innen.
  1. Deskriptive Zusammenfassung (Kennzahlen)
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                     
 ──────────────────────────────────────────────── 
                         ohne_Med     mit_Med     
 ──────────────────────────────────────────────── 
   N                            20           20   
   Missing                       0            0   
   Mean                   5.376000     5.770500   
   Median                 5.260000     5.645000   
   Standard deviation    0.5743500    0.9527549   
   Minimum                4.340000     4.340000   
   Maximum                6.500000     8.080000   
 ────────────────────────────────────────────────
  1. Statistische Hypothesen
  • \(H_0: \mu_{diff} = 0\)
  • \(H_A: \mu_{diff} \neq 0\)
  1. Sind die Daten gepaart oder unabhängig?

  • Es handelt sich um zwei Messungen an den gleichen Probanden: Schlafdauer einmal ohne und einmal mit dem neuen Medikament. In diesem Fall besteht ein Zusammenhang zwischen der ersten und der zweiten Messung, d.h. die Daten sind gepaart.

  • Der Zusammenhang zwischen den Messungen kann in einem Streudiagramm (engl. scatterplot) dargestellt werden.

  • jamovi > Register Analyses > Exploration > Scatterplot > ohne_Med als X-Axis, mit_Med als Y-Axis.

  • Das Streudiagramm zeigt in der Tendenz, dass Testpersonen, die ohne Medikament länger schlafen auch mit Medikament länger schlafen. Es besteht ein postiver Zusammenhang zwischen der Schlafdauer ohne und mit Medikament (siehe auch unter Korrelation).
  1. Prüfgrösse
  • Die Prüfgrösse bei gepaarten Daten ist der Mittelwert der paarweisen Differenzen \(\mu_{diff}\)
  • Die paarweisen Differenzen müssen als neue Variable berechnet werden.

jamovi > Register Data > Compute > Variablennamen eingeben, z.B. diff > im Formelfenster = mit_Med - ohne_Med eintragen.

 DESCRIPTIVES

 Descriptives                                                  
 ───────────────────────────────────────────────────────────── 
                         ohne_Med     mit_Med      diff        
 ───────────────────────────────────────────────────────────── 
   N                            20           20           20   
   Missing                       0            0            0   
   Mean                   5.376000     5.770500    0.3945000   
   Median                 5.260000     5.645000    0.5700000   
   Standard deviation    0.5743500    0.9527549    0.6724384   
   Minimum                4.340000     4.340000    -1.000000   
   Maximum                6.500000     8.080000     1.650000   
 ─────────────────────────────────────────────────────────────
  1. Voraussetzungen prüfen

  • Es handelt sich um eine Zufallsstichprobe und wir können davon ausgehen, dass die Beobachtungseinheiten voneinander unabhängig sind.

  • Der Stichprobenumfang ist grösser als 12; ein parametrischer Test ist möglich.

  • Ist die Prüfgrösse normalverteilt?

  • jamovi > Register Analyses > Exploration > diff in Variables auswählen > Plots > Q-Q Plots > Häkchen bei Q-Q setzen.

 DESCRIPTIVES

 Descriptives                        
 ─────────────────────────────────── 
                         diff        
 ─────────────────────────────────── 
   N                            20   
   Missing                       0   
   Mean                  0.3945000   
   Median                0.5700000   
   Standard deviation    0.6724384   
   Minimum               -1.000000   
   Maximum                1.650000   
 ───────────────────────────────────
  • Der QQ-Plot liefert keine Evidenz gegen die Annahme, dass die paarweisen Differenzen normalverteilt sind.
  1. 95%-Konfidenzintervall für \(\hat{\mu}_{diff}\) berechnen
  • jamovi > Register Analyses > Descriptives > diff als Variable auswählen > Statistics > Mean Dispersion: Häkchen bei Confidence Interval for Mean setzen.
 DESCRIPTIVES

 Descriptives                              
 ───────────────────────────────────────── 
                              diff         
 ───────────────────────────────────────── 
   N                                  20   
   Missing                             0   
   Mean                        0.3945000   
   95% CI mean lower bound    0.07978913   
   95% CI mean upper bound     0.7092109   
   Median                      0.5700000   
   Standard deviation          0.6724384   
   Minimum                     -1.000000   
   Maximum                      1.650000   
 ───────────────────────────────────────── 
   Note. The CI of the mean assumes
   sample means follow a
   t-distribution with N - 1 degrees
   of freedom
  • Leider liefert der Output hier nicht das korrekte Resultat (das jamovi-Package für den verwendeten Editor ist veraltet). Korrekt sind:
    • 95% CI mean lower bound: 0.0798
    • 95% CI mean upper bound: 0.7092
  • Die Einnahme des Schlafmittels verlängert den Schlaf im Durchschnitt um 0.395 [0.080, 0.709] Stunden. Das 95%-Konfidenzintervall beinhaltet den Nullwert nicht und wir haben Evidenz gegen die Nullhypothese, bzw. Evidenz für einen signifikanten Effekt des Medikaments auf die Schlafdauer.
  1. Teststatistik und \(p\)-Wert berechnen

Die Berechnung der Teststatistik \(t\) und des \(p\)-Werts kann auf zweierlei Arten erfolgen:

  • Variante 1: Als \(t\)-Test für verbundene Stichproben oder
  • Variante 2: Als Einstichproben-\(t\)-Test mit der Variablen diff und dem Referenzwert 0 (siehe Hypothesen oben)


  • Variante 1: jamovi > Register Analyses > T-Tests > Paired Samples T-Test > 1. mit_Med, 2. ohne_Med als Paired Variables einsetzen (Achtung: Reihenfolge beachten)> Tests > Student’s wählen; unter > Additional Statistics: Häkchen bei Mean difference und Confidence Interval setzen.

  • Variante 2: jamovi > Register Analyses > T-Tests > One Sample T-Test > diff in Dependent Variables einsetzen > Tests: Student’s wählen, unter > Additional Statistics Häkchen bei Mean difference und Confidence Interval setzen.

 ONE SAMPLE T-TEST

 One Sample T-Test                                                                                           
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                          Statistic    df          p            Mean difference    Lower         Upper       
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   diff    Student's t     2.623672    19.00000    0.0167179          0.3945000    0.07978913    0.7092109   
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   Note. Hₐ μ ≠ 0
  1. Schlussfolgerung
  • Geprüft wurde die Frage, ob ein neues Schlafmittel einen Effekt auf die Schlafdauer hat. Die Studie mit 20 Testpersonen ergab, das die Einnahme des Schlafmittels den Schlaf im Durchschnitt signifikant um 0.395 [0.080, 0.709] Stunden verlängert, \(t\) = 2.624, \(df\) = 19, \(p\) = .017.
  • Diskussion: Wir ermitteln eine durchsnittliche Verlängerung der Schlafdauer um 0.395 Stunden. 0.395 Stunden entsprechen 23.7 Minuten. Ob die Verlängerug der Schlafdauer um 23.7 Minuten klinisch relevant ist, d.h. für Menschen mit Schlafstörungen einen subjektiv bemerkbaren Effekt hat, müsste an anderer Stelle geklärt werden.