Caso 4. Medidas de dispersión
Ángel Sánchez Alférez
2023-02-08
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1202)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 45 26 57 36 49 24 48 60 30 24 41 42 44 33 39 57 37 53 20 59 28 23 41 43 39
## [26] 21 41 54 49 43 43 27 48 21 19 46 29 45 24 31 59 43 19 45 47 51 29 38 26 22
## [51] 40 55 27 26 43 47 25 34 57 23 42 40 24 50 48 50 30 20 20 48 36 59 55 54 42
## [76] 52 32 39 35 29 26 22 37 60 19 18 48 56 21 32 41 54 39 22 60 40 19 42 43 60
## [101] 43 42 20 47 21 36 54 56 29 38 51 45 53 56 33 18 35 57 40 60 32 58 44 58 60
## [126] 25 55 29 48 36 59 43 27 28 29 58 48 39 58 43 23 42 60 19 57 48 53 34 32 19
## [151] 41 31 28 23 27 22 22 55 38 32 20 28 26 20 52 18 25 24 32 36 41 35 34 38 27
## [176] 33 50 33 29 21 26 27 29 25 23 33 36 36 24 33 54 52 26 29 51 39 41 47 60 424.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 25 0.12 12.5 25 12.5
## [22.57,27.33) 28 0.14 14.0 53 26.5
## [27.33,32.08) 23 0.12 11.5 76 38.0
## [32.08,36.83) 19 0.10 9.5 95 47.5
## [36.83,41.59) 23 0.12 11.5 118 59.0
## [41.59,46.34) 23 0.12 11.5 141 70.5
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 161 80.5
## [51.09,55.85) 15 0.07 7.5 176 88.0
## [55.85,60.6) 24 0.12 12.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 18 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24
## [26] 24 24 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29
## [76] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36
## [176] 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 40 41 43 454.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.155## [1] 30.1154.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 45 38.155 6.845 46.854025
## 2 26 38.155 -12.155 147.744025
## 3 57 38.155 18.845 355.134025
## 4 36 38.155 -2.155 4.644025
## 5 49 38.155 10.845 117.614025
## 6 24 38.155 -14.155 200.364025
## 7 48 38.155 9.845 96.924025
## 8 60 38.155 21.845 477.204025
## 9 30 38.155 -8.155 66.504025
## 10 24 38.155 -14.155 200.364025
## 11 41 38.155 2.845 8.094025
## 12 42 38.155 3.845 14.784025
## 13 44 38.155 5.845 34.164025
## 14 33 38.155 -5.155 26.574025
## 15 39 38.155 0.845 0.714025
## 16 57 38.155 18.845 355.134025
## 17 37 38.155 -1.155 1.334025
## 18 53 38.155 14.845 220.374025
## 19 20 38.155 -18.155 329.604025
## 20 59 38.155 20.845 434.514025
## 21 28 38.155 -10.155 103.124025
## 22 23 38.155 -15.155 229.674025
## 23 41 38.155 2.845 8.094025
## 24 43 38.155 4.845 23.474025
## 25 39 38.155 0.845 0.714025
## 26 21 38.155 -17.155 294.294025
## 27 41 38.155 2.845 8.094025
## 28 54 38.155 15.845 251.064025
## 29 49 38.155 10.845 117.614025
## 30 43 38.155 4.845 23.474025
## 31 43 38.155 4.845 23.474025
## 32 27 38.155 -11.155 124.434025
## 33 48 38.155 9.845 96.924025
## 34 21 38.155 -17.155 294.294025
## 35 19 38.155 -19.155 366.914025
## 36 46 38.155 7.845 61.544025
## 37 29 38.155 -9.155 83.814025
## 38 45 38.155 6.845 46.854025
## 39 24 38.155 -14.155 200.364025
## 40 31 38.155 -7.155 51.194025
## 41 59 38.155 20.845 434.514025
## 42 43 38.155 4.845 23.474025
## 43 19 38.155 -19.155 366.914025
## 44 45 38.155 6.845 46.854025
## 45 47 38.155 8.845 78.234025
## 46 51 38.155 12.845 164.994025
## 47 29 38.155 -9.155 83.814025
## 48 38 38.155 -0.155 0.024025
## 49 26 38.155 -12.155 147.744025
## 50 22 38.155 -16.155 260.984025
## 51 40 38.155 1.845 3.404025
## 52 55 38.155 16.845 283.754025
## 53 27 38.155 -11.155 124.434025
## 54 26 38.155 -12.155 147.744025
## 55 43 38.155 4.845 23.474025
## 56 47 38.155 8.845 78.234025
## 57 25 38.155 -13.155 173.054025
## 58 34 38.155 -4.155 17.264025
## 59 57 38.155 18.845 355.134025
## 60 23 38.155 -15.155 229.674025
## 61 42 38.155 3.845 14.784025
## 62 40 38.155 1.845 3.404025
## 63 24 38.155 -14.155 200.364025
## 64 50 38.155 11.845 140.304025
## 65 48 38.155 9.845 96.924025
## 66 50 38.155 11.845 140.304025
## 67 30 38.155 -8.155 66.504025
## 68 20 38.155 -18.155 329.604025
## 69 20 38.155 -18.155 329.604025
## 70 48 38.155 9.845 96.924025
## 71 36 38.155 -2.155 4.644025
## 72 59 38.155 20.845 434.514025
## 73 55 38.155 16.845 283.754025
## 74 54 38.155 15.845 251.064025
## 75 42 38.155 3.845 14.784025
## 76 52 38.155 13.845 191.684025
## 77 32 38.155 -6.155 37.884025
## 78 39 38.155 0.845 0.714025
## 79 35 38.155 -3.155 9.954025
## 80 29 38.155 -9.155 83.814025
## 81 26 38.155 -12.155 147.744025
## 82 22 38.155 -16.155 260.984025
## 83 37 38.155 -1.155 1.334025
## 84 60 38.155 21.845 477.204025
## 85 19 38.155 -19.155 366.914025
## 86 18 38.155 -20.155 406.224025
## 87 48 38.155 9.845 96.924025
## 88 56 38.155 17.845 318.444025
## 89 21 38.155 -17.155 294.294025
## 90 32 38.155 -6.155 37.884025
## 91 41 38.155 2.845 8.094025
## 92 54 38.155 15.845 251.064025
## 93 39 38.155 0.845 0.714025
## 94 22 38.155 -16.155 260.984025
## 95 60 38.155 21.845 477.204025
## 96 40 38.155 1.845 3.404025
## 97 19 38.155 -19.155 366.914025
## 98 42 38.155 3.845 14.784025
## 99 43 38.155 4.845 23.474025
## 100 60 38.155 21.845 477.204025
## 101 43 38.155 4.845 23.474025
## 102 42 38.155 3.845 14.784025
## 103 20 38.155 -18.155 329.604025
## 104 47 38.155 8.845 78.234025
## 105 21 38.155 -17.155 294.294025
## 106 36 38.155 -2.155 4.644025
## 107 54 38.155 15.845 251.064025
## 108 56 38.155 17.845 318.444025
## 109 29 38.155 -9.155 83.814025
## 110 38 38.155 -0.155 0.024025
## 111 51 38.155 12.845 164.994025
## 112 45 38.155 6.845 46.854025
## 113 53 38.155 14.845 220.374025
## 114 56 38.155 17.845 318.444025
## 115 33 38.155 -5.155 26.574025
## 116 18 38.155 -20.155 406.224025
## 117 35 38.155 -3.155 9.954025
## 118 57 38.155 18.845 355.134025
## 119 40 38.155 1.845 3.404025
## 120 60 38.155 21.845 477.204025
## 121 32 38.155 -6.155 37.884025
## 122 58 38.155 19.845 393.824025
## 123 44 38.155 5.845 34.164025
## 124 58 38.155 19.845 393.824025
## 125 60 38.155 21.845 477.204025
## 126 25 38.155 -13.155 173.054025
## 127 55 38.155 16.845 283.754025
## 128 29 38.155 -9.155 83.814025
## 129 48 38.155 9.845 96.924025
## 130 36 38.155 -2.155 4.644025
## 131 59 38.155 20.845 434.514025
## 132 43 38.155 4.845 23.474025
## 133 27 38.155 -11.155 124.434025
## 134 28 38.155 -10.155 103.124025
## 135 29 38.155 -9.155 83.814025
## 136 58 38.155 19.845 393.824025
## 137 48 38.155 9.845 96.924025
## 138 39 38.155 0.845 0.714025
## 139 58 38.155 19.845 393.824025
## 140 43 38.155 4.845 23.474025
## 141 23 38.155 -15.155 229.674025
## 142 42 38.155 3.845 14.784025
## 143 60 38.155 21.845 477.204025
## 144 19 38.155 -19.155 366.914025
## 145 57 38.155 18.845 355.134025
## 146 48 38.155 9.845 96.924025
## 147 53 38.155 14.845 220.374025
## 148 34 38.155 -4.155 17.264025
## 149 32 38.155 -6.155 37.884025
## 150 19 38.155 -19.155 366.914025
## 151 41 38.155 2.845 8.094025
## 152 31 38.155 -7.155 51.194025
## 153 28 38.155 -10.155 103.124025
## 154 23 38.155 -15.155 229.674025
## 155 27 38.155 -11.155 124.434025
## 156 22 38.155 -16.155 260.984025
## 157 22 38.155 -16.155 260.984025
## 158 55 38.155 16.845 283.754025
## 159 38 38.155 -0.155 0.024025
## 160 32 38.155 -6.155 37.884025
## 161 20 38.155 -18.155 329.604025
## 162 28 38.155 -10.155 103.124025
## 163 26 38.155 -12.155 147.744025
## 164 20 38.155 -18.155 329.604025
## 165 52 38.155 13.845 191.684025
## 166 18 38.155 -20.155 406.224025
## 167 25 38.155 -13.155 173.054025
## 168 24 38.155 -14.155 200.364025
## 169 32 38.155 -6.155 37.884025
## 170 36 38.155 -2.155 4.644025
## 171 41 38.155 2.845 8.094025
## 172 35 38.155 -3.155 9.954025
## 173 34 38.155 -4.155 17.264025
## 174 38 38.155 -0.155 0.024025
## 175 27 38.155 -11.155 124.434025
## 176 33 38.155 -5.155 26.574025
## 177 50 38.155 11.845 140.304025
## 178 33 38.155 -5.155 26.574025
## 179 29 38.155 -9.155 83.814025
## 180 21 38.155 -17.155 294.294025
## 181 26 38.155 -12.155 147.744025
## 182 27 38.155 -11.155 124.434025
## 183 29 38.155 -9.155 83.814025
## 184 25 38.155 -13.155 173.054025
## 185 23 38.155 -15.155 229.674025
## 186 33 38.155 -5.155 26.574025
## 187 36 38.155 -2.155 4.644025
## 188 36 38.155 -2.155 4.644025
## 189 24 38.155 -14.155 200.364025
## 190 33 38.155 -5.155 26.574025
## 191 54 38.155 15.845 251.064025
## 192 52 38.155 13.845 191.684025
## 193 26 38.155 -12.155 147.744025
## 194 29 38.155 -9.155 83.814025
## 195 51 38.155 12.845 164.994025
## 196 39 38.155 0.845 0.714025
## 197 41 38.155 2.845 8.094025
## 198 47 38.155 8.845 78.234025
## 199 60 38.155 21.845 477.204025
## 200 42 38.155 3.845 14.784025Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 31338.19varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 157.4784Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 157.4784## [1] 23.53947desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.54904## [1] 4.8517494.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3288963CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16110745 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.155, la desviación es de: 12.5490385.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.115, la desviación es de: 4.8517494.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3288963y el CV de edades2 es de: 0.1611074
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
6 Bibliografía
Bibliografía Moreno, M. A. C. (s/f). Caso 4. Medidas de dispersion Varianza Desviacion y Coeficiente de variacion. Amazonaws.com. Recuperado el 8 de febrero de 2023, de https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/870561_5c09013b8b734cbbb8909a9b5889d256.html
Ortiz, M. (s/f). Caso 4 medidas de dispersion. Amazonaws.com. Recuperado el 8 de febrero de 2023, de https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/949076_dd8b057676c844d09a99f9097ae2539c.html