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El siguiente informe nace como parte de las actividades de la asignatura Estadistica Avanzada del Master en Data Science en la Universitat Oberta de Catalunya, con esto busco ofrecer un blog personal de informes que permitan evidenciar el crecimiento académico que se puede ir adquiriendo con el paso del Master y como R Studio es una herramienta de gran uso.

Es de resaltar que mi primer contacto con el Software R se da en este trabajo, por lo que soy consciente de que existen mejores ténicas para el uso de este, las cuales iran reflejandose con el paso de los informes.

Descripción

En nuestro archivo fuente encontraremos almacenados los _datos de una investigación médica sobre la capacidad pulmonar de varias personas, con el objetivo de estudiar si los hábitos de salud y los hábitos como fumadores influencian la capacidad pulmonar. Para realizar el estudio se recogió una muestra de 300 personas. A cada persona, se le preguntó a través de un cuestionario su género, hábitos de deporte, si era fumadora, y en caso de que lo fuera, cuántos cigarrillos al día de promedio fumaba y los años que hacía que fumaba. Además, se midió la capacidad pulmonar de cada persona a partir de un test de aire expulsado, desde donde se tomó como capacidad pulmonar la medida FEF (forced expiratory flow), que es la velocidad del aire saliendo del pulmón durante la porción central de una espiración forzada. Se mide en litros / segundo. Otros datos personales recogidos son: la altura, peso y ciudad donde vive. Se incluye en el archivo una columna adicional “PC5Y” que es la capacidad pulmonar de cada persona medida al cabo de 5 años de realizar el primer test. Se asume que la persona no ha cambiado sus condiciones personales significativamente en este tiempo.

Desrcargar Set

Carga de los datos

A continuación procedemos a cargar el archivo fuente denominado “Fumadores_clean_5Y.csv” y validar que los tipos de datos se interpretan correctamente 

fumadores<- read.csv("Fumadores_clean_5Y.csv", sep=",",na.strings = "NA")
fumadores<-as.data.frame(fumadores) #

El archivo cuenta con 300 observaciones y 10 variables (Sex, Sport, Years, Cig, PC, City, Weight, Age, Height, PC5Y).

Datos

  head(fumadores)
  class(fumadores)
## [1] "data.frame"

Estadística Descriptiva

En este apartado se estudiara el valor central y la dispersión de algunas de las variables del conjunto de datos cargado con anterioridad

Valores Centrales

Calcular la media, mediana y los cinco números (de Tukey) de la capacidad pulmonar. Visualizar la muestra de valores en un diagrama de caja (boxplot) y responder a:

  • Se detectan valores extremos (outliers) en el diagrama?

A continuación, mostrar mediante diagramas de caja la capacidad pulmonar separando el género femenino y el masculino. Mostrar, finalmente, mediante diagramas de caja la comparación entre el valor de PC original y al cabo de 5 años. Interpretar los resultados. 

class(fumadores$PC)
## [1] "numeric"
fumadores$PC<-as.numeric(fumadores$PC)
#summary(fumadores$PC)
Dato PC
Media 3.33099
Mediana 3.554
Minimimo 1.557
Q1 2.9085
Q2 3.554
Q3 3.79325
Maximo 4.466

Visualizar la muestra de valores en un diagrama de caja (boxplot)

Variable PC
boxplot(fumadores$PC, main="Box Plot PC", col="pink")

Se puede observar en la variable PC un valor atípico cercano a 1.7.

Variable PC por Genero
boxplot(fumadores$PC ~ fumadores$Sex, col=c(rgb(0.1,0.1,0.7,0.5),rgb(0.8,0.1,0.3,0.6)))

PC vs. PC AFTER 5 YEARS

boxplot(fumadores$PC,fumadores$PC5Y,names=c("PC","PC 5 YEARS"),   horizontal=TRUE,  col=c("red","yellow"), main="PC vs PC 5 YEARS")

Interpretacion

Al observar los Boxplot para PC, se observa una asimetria negativa, ya que la mediana se encuentra por encima de la media. Para el boxplot general, se evidencian valores atipicos por debajo del limite inferior de la muestra. La mayoria de las mujeres tienen una capacidad pulmonar entre 2.715 y 3.664, mientras que la mayoria de los hombres tienen una capacidad pulmonar entre 3.018 y 3.8535. Pasados 5 años, la mediana del antes (3.554) y la mediana del despues (3.543) se muestran aproximadamente iguales. Por otra parte, la media de ambas muestras no es significativamente diferente (Antes 3.33099, despues 3.28929 lo que ha simplemente permite cuestionar el porque tras 5 años, no hubo mejora en la capacidad pulmonar.

Dispersion

Calculando la dispersión de la capacidad pulmonar usando las medidas: varianza, desviación típica y rango intercuartílico

Dispersion PC
Varianza 0.3937751
Desviacion 0.627515
RIC 0.88475

Cálculo manual de la dispersión

Ahora procedemos a calcular la desviación típica de la capacidad pulmonar manualmente y comparar el resultado con la función correspondiente de R 

promedio<- mean(fumadores$PC) # Calculando el promedio
diferencias<- (fumadores$PC - promedio)^2 #obteniendo las diferencias al cuadrado entre la variable y su promedio
suma_diferencias<- sum(diferencias) #suma de las diferencias
n<- length(fumadores$PC) #obteniendo el tamaño
varianza<- suma_diferencias/(n-1) # calculando la varianza
desviacion<-sqrt(varianza) #obteniendo la desviación
Dispersion PC
Calculo manual 0.627515
Uso de funcion 0.627515

Como se puede observar en el anterior tabla, ambas desviaciones son iguales.

Histograma

Representación de la variable PC en un histograma. 

hist(fumadores$PC, freq = FALSE, col = "lightcyan", ylim = c(0,1), main="Histograma PC", xlab = "", ylab="Densidades")

Datos Categoricos

En las variables Sex, Sport y City, se realiza un resumen numérico y se dibujan un diagrama circular que muestre la proporción de casos de cada categoria

Sex
table(fumadores$Sex)
## 
##   F   M 
## 137 163
pie(table(fumadores$Sex), label = "", col = rainbow(length(levels(fumadores$Sex))), main = "Sex" )
legend("right",legend=levels(fumadores$Sex), fill=rainbow(length(levels(fumadores$Sex))))

Sport
table(fumadores$Sport)
## 
##   E   N   R   S 
## 127  83  48  42
pie(table(fumadores$Sport), label = "", col = rainbow(length(levels(fumadores$Sport))), main = "Sport" )
legend("right",legend=levels(fumadores$Sport), fill=rainbow(length(levels(fumadores$Sport))))

City
table(fumadores$City)
## 
##               Alcanar             Barcelona                Blanes 
##                    12                   102                    11 
##              Cadaques              Cardedeu               Cardona 
##                     2                     3                     6 
##                Girona             La Bisbal                Lleida 
##                    10                     7                    13 
##               Montgat         Pineda de Mar             Puigcerda 
##                     6                    11                     3 
##                Ripoll Sant Boi de Llobregat                Sitges 
##                     6                    12                    13 
##               Solsona             Tarragona              Terrassa 
##                     5                    14                    42 
##                 Tossa                 Valls 
##                     7                    15
pie(table(fumadores$City), label = "", col = rainbow(length(levels(fumadores$City))), main = "City" )
legend(0.9, 1.15,legend=levels(fumadores$City), fill=rainbow(length(levels(fumadores$City))), cex=0.8)

Estadística Inferencial

Intervalo de confianza

Para una muestra de 300 individuos, con un nivel de confianza del 97 % se tiene:

alfa<-0.03
cuantil<- qnorm(1-alfa/2)
Lic<- promedio - cuantil*desviacion/sqrt(n)
Lsc<- promedio + cuantil*desviacion/sqrt(n)

Limite Inferior = 3.2523685
Limite Inferior = 3.4096115

Análisis la capacidad pulmonar de las mujeres

Como parte de la premisa para el planteamiento de hipotesis, asumimos que conocemos la capacidad pulmonar media de la población, que es igual a 3.30. Ahora, procedemos a plantear la hipotesis Podemos decir que la capacidad pulmonar de las mujeres es inferior a la media poblacional, con un nivel de confianza del 95 %?

Fijar Hipotesis nula y alternativa

\[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & \mu_0 \geq 3.30\\ H_{1}: & \mu_0\ < 3.30 \end{array} \right. \]

Método

Para esta prueba se plantea tratar la muestra como una distribucion normal, se utiliza el estadistico inferencial T-Student, a pesar de que se considera grande la muestra, lo que puede permitir usar z, se usa debido a que no se conoce la desviación típica de la población y a que con muestras tan grandes tienden a ser similares z y t. Tambien se evidencia que las hipotesis son unilaterales debido a que la hipotesis alternativa propone se evalue si la capacidad pulmonar de las mujeres es inferior a la media poblacional.

A continuación se presenta la grafica que permite identificar el comportamiento de la muestra como una distribució normal

mujeres_pc<-subset(fumadores$PC, subset = fumadores$Sex == 'M')
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(mujeres_pc, xlab = "", ylab = "", main = "Capacidad Pulmonar Mujeres")
qqline(mujeres_pc)

Nivel de Significancia

\[\alpha = 0.05\]

Estadistico de Contraste
mujeres_pc<-subset(fumadores$PC, subset = fumadores$Sex == 'F')
mujeres_media<-mean(mujeres_pc)
mujeres_n<- length(mujeres_pc)
error<-sqrt((1/(mujeres_n-1))*sum((mujeres_pc - mujeres_media)**2))
estadistico_Con<- (mujeres_media-3.30)/(error/sqrt(mujeres_n))
estadistico_Con
## [1] -1.592563
3Valor Critico
valor_critico_mujeres<- qt(0.05, mujeres_n-1, lower.tail = TRUE)
valor_critico_mujeres
## [1] -1.656135
Valor P
valor_p_muejeres <- pt(estadistico_Con, df = mujeres_n - 1)
valor_p_muejeres
## [1] 0.0567899
Interpretación

Como se evidencia en los calculos anteriores, el valor p = 0.0567899 es mayor al nivel de significancia = 0.05, lo cual permite observar que no se tiene informacion suficiente para rechazar la hipotesis nula. De igual forma, el estadistico -1.5925634 se encuentra fuera del area de rechazo, ya que el valor critico es -1.656135

Comparación entre fumadores y no fumadores

Nos preguntamos si la capacidad pulmonar de los fumadores es inferior a la capacidad pulmonar de los no fumadores. Aplicar un test de hipótesis para contrastar la hipótesis anterior con un 95 % de confianza e interpretar el resultado

Fijar Hipotesis nula y alternativa

\[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & \mu_1 - \mu_2 \geq 0\\ H_{1}: & \mu_1\ - \mu_2 < 0 \end{array} \right. \]

\[ \mu_1: Fumadores \\ \mu_2 : No fumadores\]

Nivel de Significancia

\[\alpha = 0.05\]

Metodo

Se supondra, para este caso practico y como parte del ejercicio, que ambas muestras se distribuyen de manera normal, con varianzas poblacionales iguales y desconocidas; se usara la prueba T Student, ya que para muestras mayores a 30 tiende a una distribucion normal que puede ser evaluada con estadisticos z sin tener mayor diferencia. En esta comparación, se tratan ambas muestras como independientes. 

si_fumadores<-subset(fumadores$PC, subset = fumadores$Cig > 0)
no_fumadores<-subset(fumadores$PC, subset = fumadores$Cig < 1)
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(si_fumadores, xlab = "", ylab = "", main = "Si Fumadores")
qqline(si_fumadores)
qqnorm(no_fumadores, xlab = "", ylab = "", main = "No Fumadores")
qqline(no_fumadores)

Calculo Estadistico de Contraste
si_fumadores_media<- mean(si_fumadores)
no_fumadores_media<- mean(no_fumadores)
si_fumadores_n<- length(si_fumadores)
no_fumadores_n<- length(no_fumadores)
si_fumadores_diferencias <- (si_fumadores - si_fumadores_media)^2
no_fumadores_diferencias <- (no_fumadores - no_fumadores_media)^2
si_fumadores_suma_diferencias <- sum(si_fumadores_diferencias)
no_fumadores_suma_diferencias <- sum(no_fumadores_diferencias)
si_fumadores_varianza<- si_fumadores_suma_diferencias/(si_fumadores_n-1)
no_fumadores_varianza<- no_fumadores_suma_diferencias/(no_fumadores_n-1)
si_fumadores_desviacion<-sqrt(si_fumadores_varianza)
no_fumadores_desviacion<-sqrt(no_fumadores_varianza)
s<- sqrt((((si_fumadores_n-1)*si_fumadores_varianza)+((no_fumadores_n-1)*no_fumadores_varianza))/(si_fumadores_n+no_fumadores_n-2))
raiz_esta_fumadores<-sqrt((1/si_fumadores_n) + (1/no_fumadores_n)) 
estadistico_Con_fumadores<- (si_fumadores_media - no_fumadores_media)/(s*(raiz_esta_fumadores))
estadistico_Con_fumadores
## [1] -23.5391
Valor P
valor_p_fumadores<- pt((estadistico_Con_fumadores), df = (si_fumadores_n+no_fumadores_n-2))
valor_p_fumadores
## [1] 2.965161e-70
Valor Critico
valor_critico_fumadores<- qt(0.05, si_fumadores_n+no_fumadores_n-2, lower.tail = TRUE)
valor_critico_fumadores
## [1] -1.649983
al 99 % de confianza?
valor_critico_fumadores2<- qt(0.01, si_fumadores_n+no_fumadores_n-2, lower.tail = TRUE)
Interpretación

Para un alfa de 0.01 %, el valor critico es -2.3389262. Lo anterior permite rechazar la hipotesis nula, ya que el estadistico se encuentra fuera de la zona de aceptacion y el valor p 2.965160710^{-70} es menor al alfa.

Después de 5 años

Calculo para saber si existen diferencias significativas en los fumadores entre la capacidad pulmonar inicial y la capacidad pulmonar al cabo de 5 años. Realice los pasos necesarios.
Hipótesis nula y alternativa

\[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & \mu = 0\\ H_{1}: & \mu\ \neq 0 \end{array} \right. \]

Se asume que ambas muestras se distribuyen de manera normal. Si la hipoetisis nula no se rechaza, se puede concluir que no hubo cambio en la capacidad pulmonar inicial de los fumadores contra la capacidad pulmonar a los 5 años

Método
si_fumadores5y<-subset(fumadores$PC5Y, subset = fumadores$Cig > 0)
si_fumadores_hoy<-subset(fumadores$PC, subset = fumadores$Cig > 0)
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(si_fumadores_hoy, xlab = "", ylab = "", main = "antes")
qqline(si_fumadores_hoy)
qqnorm(si_fumadores5y, xlab = "", ylab = "", main = "despues")
qqline(si_fumadores5y)

Como se evidencia en los graficos, ambas muestras se asemejan a lo esperado en una poblacion normal. A continuacion se procede a realizar los calculos pertinentes para rechazar o no, la hipotesis nula. En este caso, se realiza una diferencia de muestras de fumadores entre antes y despues, con el fin de calcular el estadistico de contraste, posteriormente el pvalor y validar si la capacidad pulmonar ha variado considerablemente al cabo de la toma de la segunda muestra.

Cálculo
si_fumadores_hoy_n<- length(si_fumadores_hoy)
diferencia_si_fumadores<- si_fumadores_hoy - si_fumadores5y
si_fumadores_hoy_desviacion <- sd(diferencia_si_fumadores)
si_fumadores_hoy_media<- mean(diferencia_si_fumadores)
zcal<- (si_fumadores_hoy_media)/(si_fumadores_hoy_desviacion/sqrt(si_fumadores_hoy_n))
valor_p_si_fumadores_hoy<- pt(q=zcal,df=si_fumadores_hoy_n-1) + (1-pt(q = zcal, df=si_fumadores_hoy_n-1))

Una vez hallado el estadistico, el pvalor obtenido es = 1, que para este caso, es mayor al nivel de significancia, permitiendonos concluir que no hay evidencias significativas no suficiente para rechazar la hipotesis nula. No se puede considerar que la capacidad pulmonar de los individuos ha mejorado pasados 5 años.

Cálculo pero ahora por los no fumadores
no_fumadores5y<-subset(fumadores$PC5Y, subset = fumadores$Cig < 1)
no_fumadores_hoy<-subset(fumadores$PC, subset = fumadores$Cig < 1)
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(no_fumadores_hoy, xlab = "", ylab = "", main = "antes")
qqline(no_fumadores_hoy)
qqnorm(no_fumadores5y, xlab = "", ylab = "", main = "despues")
qqline(no_fumadores5y)

Como se evidencia en los graficos, ambas muestras se asemejan a lo esperado en una poblacion normal. A continuacion se procede a realizar los calculos pertinentes para rechazar o no, la hipotesis nula. En este caso, se realiza una diferencia de muestras de no fumadores entre antes y despues, con el fin de calcular el estadistico de contraste, posteriormente el pvalor y validar si la capacidad pulmonar ha variado considerablemente al cabo de la toma de la segunda muestra. 

no_fumadores_hoy_n<- length(no_fumadores_hoy)
diferencia_no_fumadores<- no_fumadores_hoy - no_fumadores5y
no_fumadores_hoy_desviacion <- sd(diferencia_no_fumadores)
no_fumadores_hoy_media<- mean(diferencia_no_fumadores)
zcal<- (no_fumadores_hoy_media)/(no_fumadores_hoy_desviacion/sqrt(no_fumadores_hoy_n))
valor_p_no_fumadores_hoy<- pt(q=zcal,df=no_fumadores_hoy_n-1) + (1-pt(q = zcal, df=no_fumadores_hoy_n-1))

Una vez hallado el estadistico, el pvalor obtenido es = 1, que para este caso, es mayor al nivel de significancia, permitiendonos concluir que no hay evidencias significativas ni suficiente para rechazar la hipotesis nula. No se puede considerar que la capacidad pulmonar de los individuos no ha mejorado pasados 5 años.