Velocidad Promedio se puede definir como sigue: Un vector representando el cambio de posición sobre el eje \(x\) de una partícula dividido por el intervalo de tiempo en el que éste ocurre, por ser un vector también indica la dirección en la que el fenómeno sucede.
Matemáticamente, éste concepto se pude expresar de la siguiente forma:
\[v_{av-x}= \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}= \frac{\Delta x}{\Delta t}\] Donde:
La velocidad instantánea se refiere a la velocidad de una partícula en un punto en específico del tiempo o un punto en específico del eje \(x\), para los casos que consideran movimiento longitudinal donde los valores de los ejes \(y\) y \(z\) son igual a cero. En lenguaje matemático, la velocidad instantánea es el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo en el tiempo tiende a \(cero\), es igual a la razón de cambio instantáneo en la posición de la partícula dado el tiempo en el eje \(x\).
La fórmula para expresarlo es como sigue:
\[v_x= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\]
Rapidez, en física, es un término que se expresa como escalar, ya que indica la rapidez con la que una partícula se mueve más no otorga información sobre la dirección en la que ésta se mueve. Por lo tanto, la rapidez promedio se obtiene al calcular el promedio de los valorez de rapidez en dado un intervalo de tiempo. La rapidez instantánea se refiere a la razón de cambio instantáneo en la posición de una partícula cuando el tiempo tiende a cero. En ninguno de los dos conceptos anteriores está involucrada la dirección en las razones de cambio ya que se expresan como escalares.
| Eje \(x\) | Eje \(y\) | ||
|---|---|---|---|
| 1 | \(a=\frac{v_f-v_i}{t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) | 1.2 | \(g = \frac{v_f-v_i}{t}\) |
| 2 | \(x = x_i + v_it + \frac{1}{2}at^2\) | 2.2 | \(y = y_i + v_it + \frac{1}{2}gt^2\) |
| 3 | \(v_f^2-v_i^2=2ax\) | 3.2 | \(v_f^2-v_i^2=2gy\) |
Donde:
\[t= \frac{v_i}{g}\] \(\therefore\)
\[t=\frac{12}{9.81}=1.22324159\]
La pelota tarda en alcanzar su altura máxima 1.22 segundos.
Posición segundo 1
Utilizando la ecuación 2.2 donde \(t=1\):
\[y=0+(15*1)+\frac{(-9.81*1^2)}{2}\]
\[y=15-\frac{9.81}{2}=15-4.905=10.95\]
Velocidad segundo 1
Utilizando la ecuación 3.2 donde \(y=10.95\):
\[v_f^2=15^2+2(-9.81)(10.95)\]
\[v_f=\sqrt{225-214.839}\]
\[v_f=\sqrt{10.161}=3.1876\]
En el segundo 1, la posición de la pelota es a \(10.95\) metros del origen del lanzamiento y la velocidad en ese punto es de \(3.1\overline{9}m/s\).
Posición segundo 4
Utilizando la ecuación 2.2 donde \(t=4\), realizando el cálculo a partir del punto más alto que alcanza la pelota:
Cálculo del tiempo en que tarda en subir a su punto más alto la pelota: \(t=\frac{v_i}{g}=\frac{15}{9.81}=1.529 \approx 1.53\)
\[y=0+0+\frac{(-9.81*(4-1.53)^2)}{2}\]
\[y=\frac{-9.81*6.1}{2}=-30.411\]
Velocidad segundo 4
Utilizando la ecuación 3.2 donde \(y=-30.411\) y \(v_i=0\) ya que comenzamos el cálculo desde el punto más alto que alcanza la pelota en el lanzamiento:
\[v_f^2-0=2(-9.81)(-30.411)\]
\[v_f=\sqrt{596.6638}=24.4267\]
En el segundo 4, la posición de la pelota es a \(30.4\) metros hacia abajo del punto más alto que alcanza la pelota en el lanzamiento y la velocidad en ese punto es de \(24.43 \space m/s\).
Utilizando la ecuación 3.2 donde \(v_i=15\), \(y=5\):
\[v_f^2-15=2(-9.81)(5)\]
\[v_f^2=-49.05+15\]
\[v_f^2=-34.05\]
\[v_f=\sqrt{-34.05}=5.83\]
La velocidad cuando la pelota está a 5 metros sobre el barandal es de \(5.83 \space m/s\).
Utilizando la ecuación 2.2 donde \(y_0=0\), \(v_i=15\), \(t=1.53\) tomado del cálculo de posición en el segundo 4 del inciso a).
\[y=0+(15*1.53)+\frac{-9.81*1.53^2}{2}\]
\[y=22.95+\frac{-22.964229}{2}\]
\[y=22.95-11.4821145=11.4678855\]
La altura máxima alcanzada por la pelota es de \(11.47 \space m/s\).
Utilizando la ecuación 1.2:
\[g=\frac{0-15}{1.53}=9.803\]
El resultado es consistente con la aceleración continua de la fuerza de gravedad: \(-9.8 \space m/s^2\)
Partiendo de las formulas para la estudiante la formula \(x=vt\) y, para el camión \(x_0=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\). Obtenemos:
\[vt=0+v_0t+ \frac{1}{2}at^2\]
Derivando con respecto al tiempo:
\[t=\frac{v_i\pm \sqrt{v_i^2-4(\frac{1}{2}a*x_i)}}{2a}\]
\[t=\frac{5\pm \sqrt{5^2-4(\frac{1}{2}0.17*40)}}{2*\frac{1}{2}0.17}\]
\[t=\frac{5\pm\sqrt{25-13.6}}{0.17}\]
\[t=\frac{5\pm3.38}{0.17}\]
\[t_1=\frac{5-3.38}{0.17}=9.53\]
\[t_2=\frac{5+3.38}{0.17}=49.3\]
Cálculos para obtener aceleración:
\[a=\frac{v_f-v_i}{t}=\frac{5-0}{9.53}=0.52\]
Cálulos para obtener la distancia que la alumna recorre:
\[x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\]
\[x=0+0+\frac{0.52*9.53^2}{2}\]
\[x=\frac{47.226868}{2}=23.613434\]
La estudiante debe correr durante 9.53 segundos y recorrer una distancia de 23.6 metros a una velocidad de 5 m/s para alcanzar el autobús.
\[v_f = v_f*t=0.17*9.53=1.62m/s\]
\[v_f=0.17*49.3=8.38\]
Utilizando la misma aproximación del inciso a) pero substituyendo el nuevo valor para rapidez, se obtiene:
\[vt=0+v_0t+ \frac{1}{2}at^2\]
Derivando con respecto al tiempo:
\[t=\frac{v_i\pm \sqrt{v_i^2-4(\frac{1}{2}a*x_i)}}{2a}\]
\[t=\frac{3\pm \sqrt{3^2-4(\frac{1}{2}0.17*40)}}{2*\frac{1}{2}0.17}\]
\[t=\frac{3\pm\sqrt{9-13.6}}{0.17}\]
\[t=\frac{3\pm\sqrt{-4.6}}{0.17}\]
Se puede apreciar que la solución de la ecuación es imaginaria, por lo tanto, en ésta dimensión, una velocidad de 3.5 m/s no le alcanzaría a la estudiante para alcanzar al autobús.