EJERCICIO5.MODELOS ESTACIONARIOS

#El modelo MA(1) cumple las condiciones de estacionariedad para:

a)Estacionario en Media: \[ E(Y_t= E(a_t -\theta a_{t-1})=0 \] Estacionario en Covarianza: \[ \gamma_0= E(Y_t -E(Y_t))^2= E(Y)^2= E(a_t -\theta a_{t-1})^2= E(a_t)^2 +\theta^2 E(a_{t-1})^2 -2\theta E(a_t a_{t-1}) \] \[ =\sigma^2 +\theta^2 \sigma^2 -0= (1 +\theta^2) \sigma^2 < \infty \] \[ \gamma_2= E(Y_t-E(Y_t))(Y_{t-2} -E(Y_{t-2}))= E(a_t -\theta a_{t-1})(a_{t-2} -\theta a_{t-3})=0 \]

La función de Autocovarianzas de un MA(1) es: \[ \gamma_k \rightarrow \gamma_0= (1 +\theta^2)\sigma^2 \rightarrow k=0 \] \[ \gamma_k \rightarrow \gamma_1= -\theta \sigma^2 \rightarrow k=1 \] \[ \gamma_k=0 \rightarrow k>1 \] La función de Autocorrelación de un MA(1) es: \[ \rho_k \rightarrow 1 \rightarrow k=0 \] \[ \rho_k \rightarrow \frac{-\theta}{1+\theta^2} \rho_k \rightarrow k=1 \] \[ \rho_k \rightarrow 0 \rightarrow k>1 \] #Caracteristicas del Modelo MA(2). Consideremos el modelo de medias móviles de orden 2: \[ Y_t= a_t -\theta_1 a_{t-1} -\theta_2 a_{t-2} \] \[a_t \rightarrow RB(0,\sigma^2)\] Este proceso es estacionario para cualquier valor \[\theta_1, \theta_2\] y sus características son:

a)Media: \[E(Y_t)= E(a_t +\theta_1 a_{t-1} -\theta_2 a_{t-2})=0\]

b)Función de Autocovarianzas: \[\gamma_k, k=0, 1, 2, 3,...\]

\[ \gamma_0= E[Y_t -E(Y_t)^2]= E(Y_t)^2= E(a_t -\theta_1 a_{t-1}) -2\theta_2 E(a_t a_{t-2}) +2\theta_1 \theta_2 E(a_{t-1} a_{t-2}) \] \[ =\sigma^2 +\theta_1^2 \sigma^2 +\theta_2^2 \sigma^2= (1 +\theta_1^2 \sigma^2 +\theta_2^2 \sigma^2) \sigma^2 \]

\[ \gamma_1= E[(Y_t -E(Y_t))(Y_{t-1}-E(Y_t))]= E(Y_t Y_{t-1}) \] \[ =E[(a_t -\theta_1 a_{t-1} -\theta_2 a_{t-2})(a_{t-1} -\theta_1 a_{t-2} -\theta_2 a_{t-3})] \] \[ =E(a_t a_{t-1}) -\theta_1 E(a_t a_{t-2}) -\theta_2 E(a_t a_{t-3}) -\theta_1 E(a_{t-1})^2 +\theta_1^2 E(a_{t-2} a_{t-3})= -\theta_1 \sigma^2 +\theta_1 \theta_2 \sigma^2 \] \[ =(-\theta_1 + \theta_1 \theta_2) \sigma^2 \]

\[ \gamma_2= E[(Y_t -E(Y_t))(Y_{t-2} -E(Y_t))]= E(Y_t Y_{t-2}) \] \[ =E[(a_t -\theta_1 a_{t-1} -\theta_2 a_{t-2})(a_{t-2} -\theta_1 a_{t-3} +\theta_2 a_{t-4})] \] \[ =E(a_t a_{t-2}) -\theta_1 E(a_t a_{t-3}) -\theta_2 E(a_t a_{t-4}) -\theta_1 E(a_{t-1} a_{t-2}) +\theta_2 \theta_1 E(a_{t-2} a_{t-3}) +\theta_2^2 E(a_{t-2} a_{t-4})= -\theta_2 \sigma^2 \]

\[ \gamma_3= E[(y_t -E(Y_t))(Y_{t-3} -E(Y_t))]= E(Y_t Y_{t-3})= \] \[ =E[(a_t -\theta_1 a_{t-1} -\theta_2 a_{t-2})(a_{t-3} -\theta_1 a_{t-4} -\theta_2 a_{t-5})]= E[(a_t a_{t-3}) -\theta_1 E(a_t a_{t-4}) -\theta_2 E(a_t a_{t-5})] \] \[ -\theta_1 E(a_{t-1} a_{t-3}) +\theta_1^2(a_{t-1} a{t-4}) +\theta_1 \theta_2 E(a_{t-1} a_{t-5}) -\theta_2 E(a_{t-2} a_{t-3}) +\theta_2 \theta_1 E(a_{t-2} a_{t-4}) +\theta_2^2 E(a_{t-2} a_{t-5})=0 \]

La función de Autocovarianza de un MA(2) es:

\[ \gamma_k\rightarrow \gamma_0= (1+ \theta_1^2 +\theta_2^2) \sigma^2 \rightarrow k=0 \] \[ \gamma_k\rightarrow \gamma_1= (-\theta_1 +\theta_1 \theta_2) \sigma^2 \rightarrow k=1 \] \[ \gamma_k\rightarrow \gamma_2= -\theta_2 \sigma^2 \rightarrow k=2 \] \[ \gamma_k=0 \rightarrow k>2 \] La función de Autocorrelación de un MA(2) es: \[ \rho_k \rightarrow \rho_1= \frac{-\theta_1 +\theta_1 \theta_2}{1 +\theta_1^2 +\theta_2^2} \rightarrow k=1 \] \[ \rho_k \rightarrow \rho_2= \frac{-\theta_2}{1 +\theta_1^2 +\theta_2^2} \rightarrow k=2 \] \[ \rho_k=0 \rightarrow k>2 \]

Modelo AR(1) condiciones de estacionariedad:

1. Estacionario en media: \[ E(Y_t)= E(\phi Y_{t-1} +a_t)= \phi E(Y_{t-1}) \]

Para que el proceso sea estacionario, la media ha de ser consstante y finita, lo que implica: \[ E(Y_t)= \phi E(Y_t) \rightarrow (1-\theta) E(Y_t)=0 \rightarrow E(Y_t)= \frac{0}{1-\phi}=0 \]

Estacionario en Covarianza: Para que el proceso sea estacionario, la varianza ha de ser constante y finita. \[ \gamma_0= E(Y_t -E(Y_t))^2= E(\phi Y_{t-1} +a_t -0)^2 \] \[ =\phi^2 E(Y_{t-1})^2 +E(a_t)^2 +2\phi E(Y_{t-1} a_t)= \phi^2 V(Y_{t-1}) +\sigma^2 +0 \]

Dada la estructura de autocorrelación del proceso: \[ E(Y_{t-1} a_t)= E[(Y_{t-1} -0)(a_t -0)]= cov(y_{t-1} a_t)=0 \]

Bajo el supuesto de que el proceso es estacionario, \[ E(Y_{t-1})^2= V(Y_{t-1})= V(Y_t)= \gamma_0 \]

por lo que: \[ \gamma_0= \phi \gamma_0 + \sigma^2 \rightarrow (1-\phi^2) \gamma_0=\sigma^2 \]

La autocovarianza de orden k es: \[ \gamma_k= E(Y_t -E(Y_t))(Y_{t-k} -E(Y_{t-k}))= E(Y_t Y_{t-k})= E[(\phi Y_{t-1} +a_t) Y_{t-k}] \] \[ \phi E(Y_t Y_{t-k}) + E(a_t Y_{t-k})= \phi \gamma_{k-1} \]

Por lo que: \[ \gamma_1= \phi \gamma_0 \] \[ \gamma_2= \phi \gamma_1 \] \[ \gamma_3= \phi \gamma_2 \]

LA función de autocovarianzas de un proceso AR(1) estacionario es: \[ \gamma_k= \frac{\sigma^2}{1-\phi^2} \rightarrow k=0 \] \[ \gamma_k= \phi \gamma_{k-1} \rightarrow k>0 \]

Los coeficientes de autocorrelación de un proceso AR(1) estacionario es: \[ \rho_k= 1 \rightarrow k=0 \] \[ \phi \rho_{k-1} \rightarrow k>1 \]

Se puede demostrar que la FAC de un AR(1) es una función exponencial: \[ \rho_1= \phi \rho_0= \phi \] \[ \rho_2= \phi \rho_1= \phi^2 \] \[ \rho_3= \phi \rho_2= \phi^3 \]

Por lo que: \[\rho_k= \theta^k \rightarrow k=1, 2, 3,...\]

Caractetísticas del Modelo AR(2):

Consideremos el modelo autorregresivo de orden 2 estacionario: \[ Y_t= \phi_1 Y_{t-1} +\phi_2 Y_{t-2} +a_t \Rightarrow a_t \rightarrow RB(0,\sigma^2) \rightarrow t=1, 2, 3... \]

Las características de este proceso son las siguientes: a) Media: como el proceso es estacionario, la media es constante. \[ (1 -\phi_1 -\phi_2) E(Y_t)=0 \rightarrow E(Y_:t)=0 \]

2. Función de autocovarianzas: \[ \phi_0= E(Y_t -E(Y_t))^2= E(Y_t)^2= E(\phi_1 Y_{t-1} +\phi_2 Y_{t-2} +a_t)^2 \] \[ \phi_1^2 E(Y_{t-1})^2 +\phi_2^2 E(Y_{t-2})^2 +E(a_t)^2 +2\phi_1 \phi_2 E(Y_{t-1} Y_{t-2}) +2\phi_1 E(Y_{t-1} a_t) +2\phi_2 E(Y_{t-2} a_t) \] \[ \phi_1^2 \gamma_0 +\phi_2^2 \gamma_0 +\sigma^2 +2\phi_1 \phi_2 \gamma_1 \rightarrow (1-\phi_1^2 -\phi_2^2)\gamma_0= \sigma^2 +2\phi_1 \phi_2 \gamma_1 \rightarrow \gamma_0= \frac{\sigma^2 +2\phi_1 \phi_2 \gamma_1}{1 -\phi_1^2 -\phi_2^2} \] \[ \gamma_1= E(Y_t -E(Y_t))(Y_{t-1} -E(Y_{t-1}))= E(Y_t Y_{t-1})= E[(\phi_1 Y_{t-1} +\phi_2 Y_{t-2} +a_t)Y_{t-1}] \] \[ \phi_1 E(Y_{t-1})^2 +\phi_2 E(Y_{t-2} Y_{t-1}) + E(a_t Y_{t-1})= \phi_1 \gamma_0 + \phi_2 \gamma_1 \rightarrow \gamma_1= \frac{\phi_1 \gamma_0}{1-\phi_2} \] Las autocovarianzas, \[\gamma_k, \forall_k>1\] son: \[ \gamma_k= E(Y_t -E(Y_t))(Y_{t-k} -E(Y_{t-k}))= E(Y_t Y_{t-k})= E[(\phi_1 Y_{t-1} +\phi_2 Y_{t-2} +a_t)Y_{t-k}] \] \[ =\phi_1 E(Y_{t-1} Y_{t-k}) +\phi_2 E(Y_{t-2} Y_{t-k}) +E(a_t Y_{t-k})=\phi_1 \gamma_{k-1} +\phi_2 \gamma_{k-2} \]

La función de Autocovarianzas de un modelo AR(2) es, por tanto: \[ \gamma_k \rightarrow \gamma_0 \rightarrow k=0 \] \[ \gamma_k \rightarrow \gamma_1 \rightarrow k=1 \] \[ \gamma_k= \phi_1 \gamma_{k-1} + \phi_2 \gamma_{k-2} \rightarrow k>1 \]

3. Los coeficientes de autocorrelación son: \[ \rho_k= \frac{\gamma_k}{\gamma_0}= \frac{\phi_1 \gamma_{k-1} +\phi_2 \gamma_{k-2}}{\gamma_0}= \phi_1 \rho_{k-1} +\phi_2 \rho_{k-2} \rightarrow k=1, 2, 3,... \] La función de autocorrelación de un modelo AR(2) es: \[ \rho_k=1 \rightarrow k=0 \] \[ \rho_k= \phi_1 \rho_{k-1} + \phi_2 \rho_{k-2} \rightarrow k>0 \]

Los procesos de ARMA(1,1) estacionario son:

1. Media \[E(Y_t)= E(\phi Y_{t-1} + a_t - \theta a_{t-1})= \phi E(Y_t)\]

\[\rightarrow (1-\phi) E(Y_t)=0 \]

b)Función de Autocovarianzas: \[ \gamma_0= E(Y_t - E(Y_t))^2= E(Y_t)^2= E(\phi Y_{t-1} + a_t - \theta a_{t-1})^2 =\phi^2 E(Y_{t-1})^2 + E(a_t)^2 + \theta^2 E(a_{t-1})^2 + 2\phi E(Y_{t-1}a_t) -2\phi \theta E(Y_{t-1}a_{t-1}) -2\theta E(a_t a_{t-1}) \] \[ = \phi^2 \gamma_0 + \sigma^2 +\theta^2 \sigma^2 -2\phi \theta \sigma^2 =\phi^2 \gamma_0 + (1 + \theta^2 -2\phi \theta) \sigma^2 \]

\[ \gamma_0= \frac{(1 + \theta^2 - 2\phi \theta) \sigma^2}{1 +\phi^2} \]

\[ \gamma_1= E(Y_1 - E(Y_t))(Y_{t-1}))= E(Y_t Y_{t-1})= E[(\phi Y_{t-1} a_t) -\theta E(Y_{t_1} a_{t-1})= \phi \gamma_0 -\theta \sigma^2] \]

\[ \gamma_2= E(Y_t - E(Y_t))(Y_{t-2} -E(Y_{t-2}))= E(Y_t Y_{t-2})= E[(\phi Y_{t-1} +a_t -\theta a_{t-1}) Y_{t-2}]= \phi E(Y_{t-1} Y_{t-2}) +E(Y_{t-2} a_t) -\theta E(Y_{t-2} a_{t-1})= \phi \gamma_1 \] Para derivar los resultados siguientes, hay que tener en cuenta que: \[ E(Y_{t-1} a_{t-1})= E[(\phi Y_{t-2} +a_{t-1} -\theta a_{t-2}) a_{t-1}]= E(a_{t-1})^2= \sigma^2 \]

La función de Autocovarianzas de un ARMA(1,1) es: \[ \rho_k\rightarrow\rho_0= \frac{(1 +\theta^2 -2\phi \theta) \sigma^2} {1-\phi^2} \rightarrow k=0 \]

\[ \rho_k\rightarrow\rho_1= \phi \gamma_0 -\theta \sigma^2 \rightarrow k=0 \] \[ \rho_k= \phi \gamma_{k-1} \rightarrow k>1 \] La función de Autocorrelación de un ARMA(1,1) es: \[ \rho_k\rightarrow \rho_1= \phi -\frac{\theta \sigma^2}{\gamma_0}\rightarrow k=0 \] \[ p_k= \phi \rho_{k-1} \rightarrow k>1 \]