Distribuciones de Probabilidad Especiales

Binomial negativa

La distribución binomial negativa es una distribución que peude considerarse como lo “inverso” de la distribución binoimal. En el contexto binomial, la variable aleatoria \(X\) representa el número de éxitos obtenidos en una serie de \(n\) ensayo de Bernoulli independientes e idénticos, número que es fijo, mientras que el de éxitos varía de un experimento a otro.

Fórmula

Una variable aleatoria \(X\) tiene una distribución binomial negativa y se conoce como una variable aleatoria binomial negativa si y solo si: \[BN(x;k,\emptyset)=\binom{x-1}{k-1}\emptyset^k(1-\emptyset)^{x-k}\] para \(r=1,2,3,\dots\) y

\(x=k,k+1,k+2,\dots\),

donde \(\theta=p\).

Parámetros

  • Media:

\[\mu=\frac{k}{p}\]

  • Varianza:

\[\sigma^2=\frac{kq}{p^2}\] donde \(q=1-p\).

¿Qué caracteriza o mide la variable aleatoria?

La variable aleatoria binomial negativa corresponde al número de ensayos necesario para obtener precisamente \(r\) éxitos, de modo que con ella el número de éxitos es fijo y el número de ensayos cambia de un experimento a otros [1].

Binomial Geométrica

La distribución binomial negativa con \(k=1\) tiene muchas aplicaciones relevantes, por ésta razón se le conoce como distribución geométrica, y se define como sigue:

Fórmula

Una variable aleatoria \(X\) tiene una distribución geométrica y se la conoce como una variable aleatoria geométrica si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por:

\[g(x;\theta)=\theta(1-\theta)^{x-1}\] para \(x=1,2,3,\dots\)

[2]

Parámetros

  • Media: \[\mu=\frac{1-p}{p}\]
  • Varianza: \[\sigma^2=\frac{1-p}{p^2}\]

¿Qué caracteriza o mide la variable aleatoria?

La probabilidad de tener el primer éxito en el \(n-\)ésimo ensayo.

Ejemplos

1. La probabilidad de un niño expuesto a una enfermedad contagiosa se contagie es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que el 10o niño expuesto sea el tercero en contraerla?

\(X=10\), \(k=3\), \(\theta=0.40\)

Aplicando la fórmula: \[b*(10;3,0.4)=\binom{10-1}{3-1}(0.4)^3(0.6)^7\] \[=0.0645\blacktriangle\]

2. Para tratar a un paciente de una afección de pulmón, han de ser operados en operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo posteriormente. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5 lóbulos funcionen correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?

\(X=10\), \(\theta=\frac{7}{11}\), \(k=4\)

Aplicando la fórmula: \[P[X=10]=\binom{9}{3}\bigg(\frac{7}{11}\bigg)^4\bigg(\frac{4}{11}\bigg)^6\] \[=0.03185\blacktriangle\]

3. Si la probabilidad es 0.75 de que el solicitante de una licencia de manejo pasará la prueba de manejo en un ensayo dado, ¿cuál es la probabilidad de que un solicitante finalmente pase la prueba en el cuarto ensayo?

\(x=4\), \(\theta=0.75\), \(\therefore\)

Aplicando la fórmula: \[g(4;0.75)=0.75(1-0.75)^{4-1}\] \[=0.75(0.25)^3\] \[=0.0117\blacktriangle\]

Densidades de probabilidad especiales

Distribución Exponencial

La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma donde \(\alpha\) ó \(k = 1\) y \(\beta=\theta\).

Una vairbale aleatoria \(X\) tiene una distribución exponencial y se conoce como una variable aleatoria exponencial si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por:

\[g(x;\theta)= \begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}&\text{para $x>0$}\\ 0&\text{en cualquier otra parte}\\ \end{cases}\]

donde \(\theta=\mu\) y \(\mu=\frac{1}{\lambda}\).

Fórmula

\[Exp(X\rightarrow x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{1}{\theta} x}dx\] \[=\int_{-\infty}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx\]

donde \(\lambda=\frac{1}{\theta}\)

Parámetros

  • Valor esperado:

\[E[X]=\frac{1}{\lambda}\]

  • Varianza:

\[V(X)=\frac{1}{\lambda^2}\]

¿Qué caracteriza o mide la variable aleatoria?

La variable aleatoria mide el intervalo de aparición entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.

Ejemplos

1. El tiempo durante el cual cierta marca de bateria trabaja en forma efectiva hasta que falle se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días. Halle la probabilidad que el tiempo que la batería trabaja hasta que falle sea mayor que 400 días.

Sea \(X=\) el tiempo que la batería trabaja hasta que falle, \(\mu = 360 = \frac{1}{\lambda}\) y \(\lambda = \frac{1}{360}\). \[\therefore\]

\[P(X>400) = \int_{400}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\] \[= \int_{400}^{\infty}\frac{1}{360}e^{-\frac{1}{360}x}\, dx\] \[= \frac{1}{360}\int_{400}^{\infty}e^{-\frac{1}{360}x}\, dx\] \[= \frac{1}{360} \lim_{b\to\infty} \int_{400}^b e^{-\frac{x}{360}}\, dx\] \[= \frac{1}{360} \lim_{b\to\infty}\frac{e^{-\frac{x}{360}}}{-\frac{1}{360}}\Bigg|_{400}^b\] \[= \lim_{b\to\infty}\bigg (-e^{-\frac{b}{360}} + e^{-\frac{400}{360}} \bigg)\] \[= e^{-\frac{400}{360}}=0.3292 \therefore\] \[P(X>400)=0.3292=32.92\%\]

Datos importantes:

  • \(X \sim Exp(\lambda)\)
  • \(f(x)= \lambda e^{-\lambda x}\) cuando \(\lambda >0\) y \(x > 0\)
  • \(F(X\leq x_i)=1-e^{-\lambda x}\)

2. La vida media de una plancha es de 18 meses, y es una variable aleatoria distribuida exponencialemnte.

Consideraciones generales: \[\mu=18 \therefore \lambda=\frac{1}{18}\] \[F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}&\text{para $x\geq0$}\\ 0&\text{para x < 0}\\ \end{cases}\]

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle antes de los 12 meses? \(P(X<12)\) \[P(x<12)=1-e^{-\frac{1}{18}*12}\] \[=1-e^{-\frac{2}{3}}\] \[=0.4866\blacktriangle\]

b. ¿CUál es la probabilidad de que la plancha falle después de los 20 meses? \(P(x>20)\) \[P(x>20)=1-P(x<20)\] \[=1-\bigg(1-e^{-\frac{1}{18}*20}\bigg)\] \[=1-\bigg(1+e^{-\frac{10}{9}}\bigg)\] \[=e^{-\frac{10}{9}}=0.3292\blacktriangle\]

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle entre los 16 y 19 meses? \(P(16<x<19)\) \[P(16<x<19)=P(x<19)-P(x<16)\] \[=\bigg(1-e^{-\frac{1}{18}*19}\bigg)-\bigg(1-e^{-\frac{1}{18}*16}\bigg)\] \[=1-e^{-\frac{1}{18}*19}-1+e^{-\frac{1}{18}*16}\] \[=e^{-\frac{1}{18}*16}-e^{-\frac{1}{18}*19}=0.0631\blacktriangle\]

Referencias

[1] M. Susan, J. C. Arnold, J. L. Blanco y Correa Magallanes, and others, Probabilidad y estadística: Con aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales. 2004.

[2] J. E. Freund, I. Miller, and M. Miller, Estadística matemática con aplicaciones. Pearson Educación, 2000.