Camino Aleatorio, Paseo Aleatorio o Random Walk

La caminata aleatoria o paseo aleatorio o camino aleatorio, abreviado en inglés como RW (Random Walks), es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Este término fue introducido por Karl Pearson en 1905.
Los resultados del estudio de las caminatas aleatorias han sido aplicados a muchos campos como la computación, la física, la química, la ecología, la biología, la psicología o la economía.
Podemos decir que un proceso estocástico sigue una caminata aleatoria si se cumple que:

y\({_t}\) =y\({_{t1}}\) + \(\epsilon\) \({_t}\)
\(\epsilon\) \({_t}\) es i.i.d (ruido blanco); donde i.i.d hace referencia a las variables Independientes e Identicamente Distribuidas.

Si y\({_t}\) sigue una caminata aleatoria, el mejor pronóstico del próximo valor es el valor actual. \(E[y{_t}|y{_{t1}},y{_{t2}},...]=y{_{t1}}\)

En un principio, Random Walk se refiere a una serie temporal que no capta tendencia ni estacionalidad, es decir, lo unico que encontramos es la serie temporal con el error \({\epsilon{_t}}\).

Las Series Temporales pueden clasificarse en:
No estacionaria:
La media y/o la variabilidad cambian a lo largo del tiempo. Pueden mostrar una tendencia (es decir que la media crece o decrece a lo largo del tiempo),cambios en la varianza y pueden presentar efectos estacionales, es decir, el comportamiento de la serie es parecido en ciertos tiempos periódicos en el tiempo.

No estacionaria en media:
El cambio en la media implica tendencia (a crecer o decrecer).

No estacionaria en varianza:

El cambio en la varianza implica que la dispersión o variabilidad no es constante en el tiempo, es decir, cuando la varianza se incrementa o disminuye. No se repite periódicamente un patrón.

Estacionaria

Una serie será estacionaria si la media y la variabilidad se mantienen constantes a lo largo del tiempo, es decir, es constante a lo largo del tiempo.

Estacionaria en media:

Una seria es estacionaria en media cuando no tiene tendencia.

Estacionaria en varianza:

Nos encontramos ante una serie estacionaria en varianza cuando es basicamente estable a lo largo del tiempo, es decir, no se aprecian aumentos o disminuciones de sus valores (posee unos dientes de sierra estables).

Veamos algunos ejemplos de simulaciones y sus representaciones

Ejemplo 1

Crearemos 400 observaciones independientes de una variable normal, cuya media sea 0 y su varianza constante (Ruido Blanco), a las que añadiremos en cada paso el ruido correspondiente según la ecuacion: \(y{_t}=y{_{t1}} + {\epsilon{_t}}\).
Y donde x corresponde al Random Walk.

w = rnorm(400) 
x = cumsum (w)

Gracias el comando “plot.ts”, dibujaremos el Ruido blanco y posteriormente la Caminata aleatoria.

plot.ts(w, col="darkorange")

plot.ts(x, col="darkorange")

A continuación, vamos a dibujar la forma captada por el Random Walk para comprobar que no existe tendencia usando el comando “lines” y, con la ayuda del comando “abline”, crearemos una linea que será la media del Random Walk gracias a la cual verificaremos, de nuevo, la falta de tendencia.

Para poder llevar a cabo el gráfico, necesitamos la siguiente librería:

library(KernSmooth)
## KernSmooth 2.23 loaded
## Copyright M. P. Wand 1997-2009
xx<-1:400
lo <- loess(x~xx)
plot.ts(x, col="darkorange")
lines(predict(lo), col='red', lwd=2)
abline(h=mean(x), col='blue')

Con “lines” nos aparece la línea roja que muestra el recorrido de la serie temporal y con “abline” se muestra la línea azúl con la media de los datos gracias a la cual podemos observar que la serie no sigue un patrón ya que los picos no oscilan alrededor de la media.

Por ultimo, con respecto a la estacionalidad podemos afirmar que no existe ya que no se repite periódicamente ningún patron sistemático.

Ejemplo 2

Supongamos el mismo ejemplo solo que, esta vez, se partirá del punto inicial 0.

x0=0 #punto inicial 0
T=400
x=c(x0,rnorm(T-1))
y=cumsum(x)
plot.ts(x, col="darkorange")

plot.ts(y, col="darkorange")

A continuación, volveremos a usar los comandos “lines” y “abline” y observaremos que la línea roja muestra la forma que se capta de la serie temporal y la linea azul la media de los datos

xx<-1:400
lo <- loess(y~xx)
plot.ts(y, col="darkorange")
lines(predict(lo), col='red', lwd=2)
abline(h=mean(y), col='blue')

Observamos de nuevo que la serie no sigue ningún patrón ya que los picos no oscilan alrededor de la media.

Gracias a las gráficas, podemos asegurar que la serie no es estacionaria (no capta tendencia ni estacionalidad), por lo que estaremos, por tanto, ante una serie que sigue una caminata aleatoria.