RUIDO BLANCO

Las Series Temporales tienen como objetivo el de descomponer la serie observadas en dos partes: una de las partes es la que depende del pasado, la otra es la parte impredecible.

\(Y{_t} = f(Y({_{t-1}}), Y({_{t-2}}), ....,Y{_1}) + a{_t}\)

El Ruido Blanco (\(a{_t}\) en la fórmula) se estudia en dos ramas que son la Estadística y la Ingeniería. Es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, siglas en inglés de power spectral density) es una constante, es decir, su gráfica es plana. Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas muestran la misma potencia, exactamente el mismo fenómeno que ocurre con la luz blanca, de allí la denominación. Además, se trata de un proceso en el que todas sus variables son independientes.

El Ruido Blanco es una serie donde tenemos que:

Su media es 0: \[E({_{at}})=0\] La varianza es constante: \[Var({_{at}})=\sigma^{\frac {2}{a}}\] Es incorrelada: \[Cov(a{_t},a{_{t+h}})=0\]

Si la PSD no es plana, entonces se dice que el ruido está “coloreado”, es decir,correlacionado. Según la forma que tenga la gráfica de la PSD del ruido, se definen diferentes colores.

Ejemplo: Esta imagen en blanco y negro es ruido blanco ya que sus píxeles no guardan correlación entre sí y por tanto su densidad espectral de potencia es constante. Si la imagen fuese en color, entonces la “nieve” sería de colores aleatorios.

Esta es la típica imagen que se ve en la pantalla de un televisor analógico cuando no está sintonizado en ningún canal. La señal que recibe en este momento el demodulador puede considerarse ruido blanco, ya que es el resultado de sumar el ruido electromagnético del canal de radio más el que generan los propios circuitos electrónicos del televisor, múltiples interferencias de baja intensidad todas ellas independientes entre sí… etc. En este último caso, la “nieve” no permanecería estática, sino que cambiaría constantemente con el tiempo, porque la señal de televisión es una señal de video, por ejemplo, una sucesión de imágenes a más de 25 fotograma/s.

Teorema de Descomposición de Wold
Cualquier proceso estacionario se puede dividir en dos partes: La primera es una combinacion lineal de ruidos blancos y la segunda la componente sistematica.

-La diferencia entre los valores pronosticados y los de la serie es el proceso \(E{_t}\). Si nuestro modelo realiza buenos pronósticos, los errores serán Ruido Blanco.

-La componente sistemática es la parte que depende directamente del valor de t.

Usando R

Generamos un White Noise

set.seed(123)

Variables aleatorias normales al azar:

NWN<-rnorm(n=150, mean=7.5, sd=0.3)

Generamos 150 observaciones independientes que siguen una distribución normal de media 7.5 y desviacion 0.3 X~N(7.5;0.3)

Variables aleatorias de Poisson:

PWN <- rpois(n = 70, lambda = 15)

Generamos 70 observaciones independientes cuya media y varianza es 15. Poisson \((\lambda)\)

Lo pintamos

A continuacion dibujamos 2 gráficas en una misma ventana

par(mfrow = c(1, 2))

Trazamos las variables normales con la media

plot.ts(NWN, col="red")
abline(h = 7.5, col = "blue", lty = "dashed")

Ahora, las varibles de Poisson con la linea de la media.

plot.ts(PWN, col="red")
abline(h = 15, col = "blue", lty = "dashed")

Y vemos sus autocorrelogramas:

Un correlograma es una imagen de la correlación de estadísticas. Por ejemplo, en el análisis de series temporales, el correlograma, también conocido como gráfico de autocorrelación, es una representación gráfica de las autocorrelaciones de la muestra \(r{_h}\) respecto h (el tiempo), formado por las correlaciones estimadas y sus desviaciones típicas.

“Set up plot region”" dibuja dos gráficas en una misma ventana:

par(mfrow = c(1, 2))

A continuación trazamos las variables normales con la linea de media.

acf(NWN, main = "Distribución Normal",col="red", lag.max = 15)

Debido a que ningún coeficiente de correlación es significativo, podemos afirmar que los datos son independientes.

Ejemplo de RUIDO BLANCO: Generamos los datos de la siguiente forma:

RuidoBlanco=rnorm(1000,0,1)

Graficamos la serie de tiempo:

plot.ts(RuidoBlanco, main="Ruido Blanco", xlab="Tiempo", ylab="Valores",col="2")

Graficamos su correlograma:

acf(RuidoBlanco,main="Correlograma",col="2",lag=70)

Debido a que, como en el ejemplo anterior, ningún coeficiente de correlación es significativo, podemos afirmar que los datos son independientes.

Calculamos la media entorno a la que se encuentra el Ruido Blanco:

mean(RuidoBlanco)    
## [1] 0.01857522

El Ruido Blanco está entorno a una media de 0.01857522, la cual es adecuada ya que la debe estar lo más proxima a 0.

En el ejemplo que hemos llevado a cabo, lo que hemos hecho ha sido simular valores de una serie temporal cuya procedencia es una distribución normal con media 0 y varianza 1. Calculamos la media gracias al comando “MEAN” y analizamos la incorrelación usando el correlograma generado con la función AFC. En la gráfica vemos que, para t>0, sus valores son muy proximos a 0 o que estan por debajo de las bandas de Bartlett (bandas azules que vemos en la gráfica.)

Es bastante importante que, como hemos dicho con anterioridad, en el Ruido Blanco la varianza sea constante con respecto a tiempo. Además, a diferencia de cuando analizamos Regresión Lineal (donde se pueden hacer varias pruebas estadísticas al respecto), con las Series Temporales basta con analizar el comportamiento de la función de autocorrelación observada en los correlogramas.

Mediante otras dos posibles pruebas de hipótesis, como son Ljung-Box y/o Durbin-Watson, podemos probar que una serie es un Ruido Blanco.

Ejemplo de RUIDO BLANCO

Prueba Ljung-Box:

Contraste de hipótesis:

H\({_0}\) = Es un Ruido Blanco.
H\({_1}\) = NO es un Ruido Blanco.

Box.test(RuidoBlanco)
## 
##  Box-Pierce test
## 
## data:  RuidoBlanco
## X-squared = 0.99711, df = 1, p-value = 0.318

En este caso, al obtener como p-valor 0.318>\(\alpha\), no rechazamos la Hipotesis Nula, por lo que decimos que dicha variables es un Ruido Blanco.

Los Ruidos Blancos toman tanta importancia debido a que son piezas esenciales a la hora de construir los modelos ARMA.