Chain Ladder

réserve totale:

5327890

Définition:

Cette méthode compte parmi les plus usuelles et sert de référence pour les méthodes déterministes. la facilité de son implémentation et la pertinence de ses résultats l’ a rendu la plus utilisée dans le domaine de calcule de provisionnement.

Hypothèses:

(H1):Les années de survenance sont indépendantes entre elles

(H2):Les années de développement sont des variables explicatives du comportement des paiements futurs

Algorithme de calcul:

cette méthode suggère l’estimation des coefficients de passages , ces coefficients sont déterminés comme-suit : 1.

\[ \forall 0\leq j\leq n -1,\space \widehat{\lambda} = \frac{\sum_{i=0}^{n - j -1}C_{i,j+1}}{\sum_{i=0}^{n-j-1}C_{i,j} }\]

  1. \[ \forall 1\leq i,j\leq n,\space\space C_{i,j} =C_{i,n-i} \prod_{k = n-i}^{j-1}\widehat{\lambda_k} \]

  2. \[\forall i \in (1,2,3,....,n),\space\space C_{i,n}= C_{i,n-i}\prod_{k=n-i}^{n-1}\widehat{\lambda_{k} }\]

  3. \[P_{i}= C_{i,n}-C_{i,n-i}\]

Chain Ladder

Comme nous l’avons vu précédemment, la méthode ChainLadder s’appuie sur l’hypothèse forte de l’indépendance des années de survenance i. Ainsi, pour vérifier cette condition, nous nous intéressons aux données relatives au D-triangle.

Dans notre cas, nous nous intéressons à l’étude de la moyenne et de l’écart-type des colonnes du D-triangle. Ainsi, nous observons une variation maximale de 3.5% par rapport à la valeur moyenne (en valeur absolue). Nous supposerons alors l’hypothèse vérifiée dans notre étude.

Pondération par la moyenne arithémithique

réserve totale:

5790358

La seule différence avec la méthode chain ladder réside dans le calcul des coeffecients de passage.

1/En effet,pour la détermintation des nouveaux coeffecients on a besoin de calculer un D-triangle déduit à partir des données cumulées.

\[\lambda_{i,j}=\frac{C_{i,j+1}}{C_{i,j}}\] 2/L’expression de l’estimateur de développement devient :

\[\widehat{\lambda_{j}}=\frac{1}{n - j}\sum_{k=0}^{n-j}{\lambda_{k,j}}\]

Pondération par la Médiane

reserve totale:

5497206

La seule différence avec la méthode des moyennes arithémithiques réside dans la déduction des coeffecients de développement finals avec:

\(\widehat{\lambda_{j}} = Median(\lambda_{k,j})\)

Ce choix nous permet d’atténuer l’effet des valeurs extrêmes qui peuvent exister durant certaines années

Pondération par la moyenne géometrique

rèserve totale

5775482.58

La pondération par une moyenne geometrique revient à calculer les coeffecients de développement à l’aide de formalisme suivant:

\(\lambda_{j}=\prod_{i=1}^{n}{(\lambda_{k,j})^\frac{1}{n}}\)

Méthode des moindres carrés

Provision Totale

6174578

La méthode des moindres carrés consiste à estimer les montants manquants à l’aide des coeffecients de passage à l’aide de l’estimateur suivant

\[\lambda_{j}=\frac{\sum_{i=0}^{n-j-1}C_{i,j}C_{i,j+1}}{\sum_{i=0}^{n-j-1}C_{i,j}^2}\]

London Chain

Réserve totale :

4660959

La méthode dite London-Chain a été introduite par Benjamin et Eagles pour le calcul des réserves au Lloyd’s en 1986.

\[ \forall 1\leq j\leq n-1 ,\space \space \space \space \space C_{i,j+1} = \lambda_{j}C_{i,j}+\beta_{j}\] \[\widehat{\lambda_{j}}=\frac{\frac{1}{n-j}\sum_{i=0}^{n-j-1}{C_{i,j}C_{i,j+1}-\overline{C_{j}}\space\overline{C_{j+1}}}}{\frac{1}{n-j}\sum_{i =0}^{n-j-1}C_{i,j}^2 -\overline{C_{j}}^2}\]

et \[\widehat{\beta_{j} }=\overline{C_{j+1}}-\lambda_{j}\overline{C_{j}}\]

Méthode de Bornhuetter-Ferguson(Choix ratio)

cette méthode a était devéloppé en 1972 par Bornhuetter-Ferguson, elle se différencie des autres méthodes par l’utilisation d’une information exogène appelée “avis d’expert” pour déterminer l’ultime à priori.

Nous observons une tendance dans l’évolution des ratios. En effet, ils croissent rapidement durant les premières années, puis cette croissance s’essouffle et les ratios stagnent sur les dernières années. 75 % un bon compromis pour notre cas.

Méthode de Bornhuetter-Ferguson

Réserve totale

4934956

Pour déterminer l’ultime on utilise le formalisme suivant : \[ \forall i \in (1,.....,n),\space\space C_{i,n}=C_{i,n-i+1} +(1 - \gamma_{n-i+1})\tau_{i}\] \(\tau_{i}\) :est un estimateur à priori et \(\gamma_{i} = \frac{1}{\prod_{k=i}^{n}\lambda_{k}}\)

Dans un premier lieu on applique la méthode de chain ladder standard pour avoir les charges ultimes chaine ladder\(\forall i \in(1,........,n),\space\space \ U_{CL_{i}} = C_{i,n}\) Aprés on calcule l’ultime à priori : \(\tau_{i}=(S/P)_{retenu}*P_{i}\)

Puis on faisant le calcul suivant en multipliant au numérateur et au dénominateur par le même terme on aura :

\(\gamma_{n-i+1}= \frac{1}{\prod_{k=n-i+1}^{n}{\lambda_{k}}}=\frac{C_{i,n-i+1}}{C_{i,n-i+1}*\prod_{k=n-i+1}^{n}{\lambda_{k}}}=\frac{Charge Actuelle}{ultime chain Ladder}\)

Mack chain Ladder(Verification des hypohèses)

$hypTab
  j S L n m Z   EZ   VarZ
1 2 1 0 1 0 0 0.00 0.0000
2 3 1 0 1 0 0 0.00 0.0000
3 4 1 2 3 1 1 0.75 0.1875
4 5 1 2 3 1 1 0.75 0.1875

$valueTest
  Z  EZ       SdZ
1 2 1.5 0.6123724

$validated
[1] TRUE

La méthode de Mack est la première méthode faisant intervenir la notion d’incertitude dans la méthode déterministe Chain-Ladder. En effet, elle permet de mesurer l’incertitude associée à la prédiction du montant des provisions que doit faire l’assureur.

(H1): \[\forall{i} \in (0,..,n)\space\space\space\forall{j}\in (1,......,n-1) \],

\(E(C_{i,j+1}/C_{i,1},...,C_{i,j}) = \lambda_{j}C_{i,j}\)

Cette seconde hypothèse suppose alors que le passage dune année de développement à autre est décrit en termes d’espérance.

(H2):\(\forall{i} = 1,....,n , \space{}\space{}\forall{j} = 1,.....,n\) il existe un \(\sigma_{j}\) tel que : \(Var(C_{i,j+1}/C_{i,1},....,C_{i,j})=\sigma_{j}^2C_{i,j}\)

(H3): Les montants cumulés des sinistres \(C_{i,j}\) sont indépendants suivant les années de survenance \(i\)

Ce teste consiste à compter le nombre de facteurs de développement individuels supérieurs à la médiane pour chaque diagonale du triangle de données \(S_{k}\)et le nombre de celui inférieurs \(L_{K}\).

On suppose que \(S_{k}\) et \(L_{k}\) suivent des lois binomiales \(B(t,1/2)\) avec \(t=(S_{k}+L_{k})\).

On pose \(Z_{k} = min(S_{k},L_{k})\),l’espérance et la variance de \(Z_{k}\) sont alors données par:

\[E(Z_{k})= (t/2)-(t/2^t)C_{t-1}^m\] \[Var(Z_{k})= (t(t-1)/4)-(t(t-1)/2^t)(C_{t-1}^m)E(Z_{k})-(E(Z_{k})^2)\] avec \(m\) est la partie entière de (t/2)

en supposant que les \(Z_{i}\) sont indépendants,alors on a \[E(Z)= \sum_{k=1}^{n}{E(Z_{k})}\] \[Var(Z)=\sum_{k=1}^{n}{Var(Z_{k})}\]

On suppose de plus que \(Z\) suit une loi normale, alors on rejette la présence d’un effet calendaire si : \[|Z-E(Z)|< 1,96\sqrt{Var(Z)}\]

Mack chain Ladder

Significativité des outputs d’aprés la littérature:

\(CV = \frac{MACK.S.E}{ULTIMATE-LATEST}=\frac{SEP(R)}{R}\)

La varitation de l’erreur par rapport la valeur réelle

\(Dev.to.date=\frac{Latest}{Ultimate}\)

\(IBNR = ULTIMATE - LATEST\)

\(SEP(R)=Mack S.E= Erreur_Prédiction\)

Sous ces hypothèses, Mack obtient une formule fermée pour la variance de la charge ultime. Nous calculons l’erreur quadratique moyenne (MSEP - Mean Square of Error of Predicion) en conditionnant par rapport aux données passées : \[MSEP(\widehat{C_{i,n}}) = E(((\widehat{C_{i,n}})-C_{i,n})^2|C_{i,j}:i+j<n+2)\] Ainsi on déduit que \[ MSEP(\widehat{C_{i,n}}) = Var(C_{i,n}|C_{i,j}:i+j<n+2)+(E(C_{i,n}|C_{i,j}:i+j<n+2)-\widehat{C_{i,n}})^2 \] en posant \[\widehat{R}_{i}=\widehat{C_{i,n}}-C_{i,n-i+1}\] la provision étudiée,\[ \widehat{R_{i}}-R_{i}=\widehat{C_{i,n}}-C_{i,n}\] nous conduit à déduire que \(MSEP(\widehat{R_{i}})=MSEP(\widehat{C_{i,n}})\) et que l’erreur standard est égale à \(SEP(\widehat{R_{i}})=\sqrt{MSEP(\widehat{C_{i,n}})}\)\ \[\widehat{R}=\sum_{i=2}^{n}{\widehat{R_{i}}}\]

Mack chain Ladder

Totale:

Boostrapp Mack chain Ladder

La méthode du Bootstrap est une méthode relativement récente consistant à fabriquer de l’information et à fournir des réponses là où les autres méthodes ne sont pas applicables (manque d’information, calculs impossibles…) Le principe général de la méthode du Bootstrap est le rééchantillonage par replacement. Dans notre étude, nous choisissons d’appliquer la méthode du Bootstrap dans le cadre des hypothèses de Mack. L’erreur de prédiction peut s’interpréter comme la combinaison de deux erreurs sous-jacentes que sont respectivement l’erreur de processus et l’erreur de simulation. L’erreur d’estimation est introduite lors du ré-échantillonage par replacement des résidus de Pearson. Plus généralement, les résidus peuvent se traduire mathématiquement de la façon suivante :

\(r_{i,j}=\frac{f_{i,j}-E[f_{i,j}]}{\sqrt{Var(f_{i,j})}}\)

D’aprés les hypothéses de mack et le fait que \(f_{i,j}=\frac{C_{i,j+1}}{C_{i,j}}\),on peut déduire que :

\(E[f_{i,j} |C_{i,1},......,C_{i,j}]=\lambda_{j}\)

\(Var[f_{i,j} |C_{i,1},.....,C_{i,j}]=\frac{\sigma_{j}^2}{C_{i,j}}\)

d’ou on déduit la nouvelle formule des résidus

\(r_{i,j}=\frac{\sqrt{C_{i,j-1}}(f_{i,j}-\lambda_{j})}{\sigma_{j}}\)

Dans notre étude nous effectuons un tirage aléatoire par une loi normale dont l’ésperance et la variance sont déduites des hypohéses (H2) et (H3) de mack .

On présente le cheminement de la méthode comme suit :

1.calcul du D-triangle \(f_{i,j}\) , des \(\sigma_{j}^2\) et \(\lambda_{j}\)

2.Calcul du triangle des résidus supérieurs :

\(r_{i,j}=\frac{\sqrt{w_{i,j}}(f_{i,j}-\lambda_{j})}{\sigma_{j}}\) , avec \(C_{i,j-1}=w_{i,j}\)

Boucle (avec N, le nombre de simulations)

  1. Rééchantillonage par replacement des résidus que nous notons

alors :

\(r_{i,j}^B=\frac{\sqrt{w_{i,j}}(f_{i,j}^B - \lambda{j})}{\sigma_{j}}\)

4.Calcul des link ratios simulés :

\(\widehat{\lambda_{j}}=\frac{\sum_{i=1}^{n-j+1}{w_{i,j}f_{i,j}^B}}{\sum_{i=1}^{n-j-1}{w_{i,j}}}\) avec \(f_{i,j}^B=r_{i,j}^B\frac{\sigma_{j}}{\sqrt{w_{i,j}}} + \lambda_{j}\)

  1. Calcul du triangle inférieur des paiements cumulés à partir de la méthode Chain-Ladder ;

  2. Simulation par une loi normale

\(N(\widehat{\lambda_{j}^2C_{i,j}^*,\sigma_{j}^2C_{i,j}})\)

7.Enfin, nous obtenons N estimations de la provision totale R dont l’écarttype correspond à l’erreur de processus.

Boostrapp chain Ladder

Réserve Totale

5302598

Erreur

1133544

Dans cette méthode on prend en charge les erreurs de la méthode chain ladder Standard. En effet, Dans un premier temps on applique la méthode chain ladder standard pour avoir les coeffecients de passages , Aprés on récalcule le triangle initial en divisant chaque colonne par le facteur développement calculé .

La deuxiéme étape consiste à calculer les résidus à l’aide de formalisme suivant

\(\epsilon{i,j}=\frac{Y_{i,j}-\widehat{Y{i,j}}}{\sqrt{\widehat{Y_{i,j}}}}\)

soit \(\phi{}=(moyenne(res^2)_{C1},moyenne(res^2)_{C2},....,moyenne(res^2)_{Cn})*\frac{n_{0}}{n_{0}-P}\)

avec \(n_{0}\) le nombre des cases non vides et p=2n-1 pour déduire les résidus finals

Remarque: (on refait les étapes suivantes N fois)

Phase Boostrapp

1/réachantillonage de triangles des résidus

2/Déduction de triangle supérieur(pseudo_triangle) à l’aide de formalisme suivant

\(Triangle=res*\sqrt{\phi_{i,j}}*\sqrt{\widehat{Y_{i,j}}}+\widehat{Y_{i,j}}\)

phase simulation: on simule la partie inférieur de triangle à l’aide d’une loi Gamma \(\gamma({1,\frac{C_{i,j}}{\phi_{i,j}},\phi_{i,j}})\)

L’erreur est calculé à partir de formalisme suivant :

\(\epsilon_{i,j}=\sqrt{phip*mean(SV)+(n0/n0-p)sd(SV)^2}\)

Boostrapp modèle de mack avec la méthode de Bornhuetter-Ferguson

la méthode Chain-Ladder s’applique parfaitement aux sinistres anciens et la méthode Bornhuetter-Ferguson davantage adaptée aux années récentes.

Cette idée nous a poussé à penser qui combine à la fois ces deux méthodes,et pour avoir une idée plus pertinente à l’erreur qui peut etre omise , on a decidé d’appliquer la méthode chain ladder avec les hypothéses de Mack et pour les années récentes on applique la méthode Bonghuetter Ferguson

On refait ce calcule N fois avec réachantillonge identique à celui de la méthode Boostrapp mack chain ladder .

puis Dans l’éatape de la simultion , pour les années récentes on utilisera les provisions calculés par la méthode Bornghuetter Ferguson.

l’erreur calculé est l’ecart type des (N) IBNR calculé et la provision est la moyenne des N IBNR déduites .

Quasi poisson régression

régression à l’aide d’une binomiale négative

Cout moyen

Totale

5630920

On calcule dans un premier temps le triangle des couts moyen ,puis on applique la méthode chain ladder sur ce triangle et celui de nombre afin de déduire le cout à l’ultime.

Résumé des méhodes: