La tendencia estocástica es un cambio aleatorio de una serie a lo largo del tiempo, pudiendo presentar largos periodos crecientes, seguidos de periodos decrecientes. La tendencia estocástica es un proceso estacionario en media, pero no lo es en varianza. El modelo mas simple de una variable con tendencia estocástica es el de una caminata aleatoria, \(Y_{t} = Y_{t-1} + W_{t}\).

Diferenciación

Como la mayoria de las series temporales no son estacionarias, es decir, su media y su variabilidad no son constantes a lo largo del tiempo, necesitamos transformarlas para que se conviertan en estacionarias. Para transformar una serie con tendencia estocástica se utiliza la diferenciación que permite eliminar la tendencia y la estacionalidad.

Diferenciación regular

Para eliminar la tendencia de una serie aleatoria se utiliza la diferenciación regular, que consiste en que a cada dato se le resta el anterior, suponiendo que la tendencia evoluciona lentamente, consiguiendo asi una nueva serie, con un dato menos que la original, en la que se ha eliminado la tendencia. Si la tendencia no se ha eliminado por completo al realizar una primera diferenciación regular, se realiza una segunda vez. \[\Delta Y_{t} = Y_{t} - Y_{t-1}\]

st1<-read.csv("datos1.csv")
par(mfrow = c(1,2), bty = "n")
sct <- ts(st1, start = c(2012, 1), frequency = 12)
plot(sct,main="Serie con Tendencia", xlab="Tiempo",ylab="Distancia")
sst<-diff(sct)
plot(sst,main="Serie sin Tendencia", xlab="Tiempo",ylab="Distancia")

En la gráfica de la izquierda se puede ver una serie temporal que presenta una tendencia creciente. Para quitar esa tendencia usamos el comando “diff”, que lo que hace es restar a cada observacion el valor anterior, con lo que nos quedara la gráfica de la derecha en la que se puede apreciar la perdida de la tendencia de la serie.

Diferenciación estacional

Para eliminar la estacionalidad de una serie, se utiliza una diferenciación estacional, que consiste en hacerle a la serie una transformación similar a la diferenciación regular para la eliminación de la tendencia, solo que en este caso la diferencia que se toma es la frecuencia anual de los datos. \[\Delta_{a} Y_{t} = Y_{t} - Y_{t-a}\]

st2<-read.csv("datos2.csv")
par(mfrow = c(1,2), bty = "n")
sce<- ts(st2, start = c(2012, 1), frequency = 12)
plot(sce,main="Serie con Estacionalidad", xlab="Tiempo", ylab="Distancia")
sse<-diff(sce,lag=12)
plot(sse,main="Serie sin Estacionalidad", xlab="Tiempo",ylab="Distancia")

En la gráfica de la izquierda podemos ver que la serie presenta estacionalidad, ya que cada año se repite el mismo patrón. Para quitar la estacionalidad de la serie se usara el mismo comando que para quitar la tendencia, “diff”, solo que en este caso se le añadira “lag=12” para indicar que el periodo es de 12 meses. Una vez realizado esto podemos ver la serie habiendole quitado la estacionalidad en la gráfica de la derecha.

Transformación logarítmica

Podemos encontrarnos con una serie que no sea estacionaria en varianza, es decir, la varianza aumenta conforme avanza la serie. Para hacer que la serie sea constante en varianza se utiliza la transformación logarítmica, que consiste en tomar logaritmos en todos los datos de la serie. Una vez la serie esta transformada ya podriamos proceder a eliminar la tendencia y la estacionalidad con las diferenciaciones anteriores si fuese necesario.

st3<-read.csv("datos3.csv")
par(mfrow = c(1,2), bty = "n")
scv <- ts(st3, start = c(2012, 1), frequency = 12)
plot(scv, main="Serie no estacionaria en varianza",xlab="Tiempo",ylab="Distancia")
scl<-log(scv)
plot(scl,main="Serie estacionaria en varianza",xlab="Tiempo",ylab="Distancia")

Como vemos en la primera gráfica, a medida que avanza el tiempo la varianza de la serie temporal va aumentando, usando la funcion “log”, conseguimos que la varianza de la serie sea mas constante a lo largo del tiempo, como podemos ver en el gráfico de la derecha.

Análisis de modelos univariantes

La caracteristica de estos modelos es que para predecir el futuro de la serie utilizan el pasado de la propia serie. Estos modelos suelen ser buenos para predicciones a corto plazo.

Para representar la tendencia de una serie a traves de un polinomio de grado uno, tendriamos que se puede descomponer en \(T_{t}=a+bt\), donde a y b son fijos, por lo que la serie temporal se representaria como \(Y_{t}=T_{t}+W_{t}\), con media cero y siendo \(W_{t}\) un componente aleatoreo incierto, también podemos encontrarnos con series que siguen el esquema \(Y_{t} = Y_{t-1} + b + W_{t}\), que a diferencia de la anterior, este cuenta con media b.