Demonstração de um limite superior para \(\pi\)

Introdução

Exercício adicional referente a lista 1 (Nota Técnica) Disciplina - Matemática & Estatística Prof. Adriano Azevedo Filho Mestrado em Economia Aplicada PPGEA-ESALQ/USP 1 trimestre

Atividade: demonstração do limite superior para \(\pi\) usando círculos inscritos dentro de polígonos regulares, com 96 faces ou mais.

O cálculo do \(\pi\) desde a antiguidade é motivo de estudos por muitos matemáticos, tendo o trabalho de Arquimides (240a.C) tido notável relevância para o avanço da matemática. Os estudos de Arquimides tiveram tamanho impacto, que só a partir de 1.500 d.C foram criados novos métodos para o cálculo de \(\pi\). Arquimides usou como base de estudos um hexágono regular, calculando os perímetros dos polígonos obtidos, e dobrando-os sucessivamente os lados dos polígonos, até chegar a 96 lados.

Visto a importância da obra de Arquimides, este exercício pretende demonstrar o método utilizado por Arquimides para calcular o valor aproximado de \(\pi\) através do limite superior de \(\pi\).

Abaixo veja o passo-a-passo da demonstração de Arquimides em caso de um polígono de 6 lados (hexágono):

Passo 1: Tomando como verdade que \(\pi\) é a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, temos:

• P = \(\pi\)d = 2\(\pi\)r, sendo r o raio da circunferência;
• \(\pi\) = \(\frac{P_{c}}{d_{c}}\)
• E a área da circunferência é \(\pi\)r²

Passo 2: Na figura apresentada abaixo, a partir de um círculo inscrito em um polígono de 6 lados (hexágono), será derivada a fórmula para encontrar o limite superior de \(\pi\), após isso será visto a fórmula geral aplicada para um polígono de n lados.

A Figura 1 a seguir representa um hexágono circunscrito com um círculo de diâmetro = 1 e raio = 0,5.

Figura 1 - Hexágono inscrito em círculo

Passo 3: como pode ser observado na Figura 1, o perímetro do círculo da Figura 1 tem a seguinte “fórmula”:

• \(P{_{c}}\) = 2\(\pi\)

Passo 4: sabendo que \(P{_{h}}\) é o perímetro do hexágono, se pode concluir que \(P{_{c}}\) < \(P{_{h}}\).

Passo 5: como o hexágono pode ser divido em 6 triangulos equiláteros, representado na Figura 1 por AEF. Para obter o valor de \(P{_{h}}\), sabendo que um triângulo equilátero equivale a dois triângulos retângulos, podemos trabalhar a figura representada por AHE utilizando o Teorema de Pitágoras, onde:

• \(S^{2} = \frac{S}{2}^{2} + r^{2}\)

Figura 2 - Triângulo retângulo

Passo 6: encontrando o valor de s:

• \(S^{2} = \frac{1}{2}^{2} + \frac{S}{2}^{2} =\frac{1}{4} + \frac{S}{4}^{2}\)

• \(S^{2} - \frac{S}{4}^{2} = \frac{1}{4}\)

• \(\frac{3S^{2}}{4} = \frac{1}{4}\)

• \(S^{2} = \frac{1}{3} = \sqrt{\frac{1}{3}}\)

Passo 7: por fim, para encontrar o valor do \(P{_{h}}\), basta lembrar que existem 6 triângulos equiláteros no hexágono:

• \(P{_{h}}= 6\sqrt{\frac{1}{3}}\)