Aula 3 - Inferência Estatística

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

A inferência estatística é um ramo da estatística que utiliza-se de artifícios matemáticos para modelar uma população a partir de dados amostrais e obter resultados baseados em determinada confiabilidade desejada.

Como proceder para obter informações relevantes sobre um determinado problema?

Quando se faz uma amostragem de uma determinada população, estamos fazemos inferência sobre a mesma, para um determinado o grau de incerteza.

O tamanho da amostra é proporcional ao tamanho da população?

NÃO, a precisão dos resultados obtidos através de uma amostra não dependem, necessariamente, da proporção do tamanho da amostra em relação ao tramanho da população.

Tipos de Erros

• Erros aleatóriso: erros provocados de forma aleatória ao se realizar uma medição. Implica em todas as medidas da amostra se distribuirem de maneira aleatória em torno do valor verdadeiro.
• Erros sistemáticos: São erros que são cometidos da mesma forma ao realizar uma determinada medição. Implica em todas as medidas da amostra difererirem do valor verdadeiro por uma quantidade (ou sentido) constante.

Precisão \(x\) Exatidão

• Precisão: conjunto de dados com valores próximos.

• Exatidão: resultados próximos ao desejado.

Entretando, na prática o alvo muitas vezes não é visto, ou conhecido….

Qual será a melhor forma de avaliar a qualidade da estimativa?

Parâmetros e Estatísticas

• Parâmetros:

  • Média: \(\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N}X_{i}}{N}\)
  • Desvio padrão: \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left ( X_{i}-\bar{X} \right )^{2}}{N}}\)

• Estatísticas:(Estimativas pontuais)

  • Média: \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\)
  • Desvio padrão: \(s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n-1}}\)

Intervalo de Confiança

Normalmente, uma estimativa pontual não oferece uma informação completa. Não sabemos quão perto da média da população está a média da amostra. Por isso a implementação de um range de valores baseados no nível de confiança no qual se deseja, se faz necessário.

Definição de Intervalo de Confiança (IC): Dado um conjunto de amostras aleatórias \(x_{1},..., x_{n}\) de uma determinada população. Dado \(Y_{1} = f_{Y_{1}}(x_{1},...x_{n})\) e \(Y_{2} = f_{Y_{2}}(x_{1},...x_{n})\) dois parâmetros tais que \(Y_{2} > Y_{1}\), o intervalo entre esses parâemtros é dito intervalo de \(100\cdot(1-\alpha)\)% de confiança para θ \[P(Y_{1}<θ<Y_{2}) = 1-\alpha\]

Notação: \(IC(μ,1-\alpha) = (Y_{1}, Y_{2})\), onde \(Y_{1}\) e \(Y_{2}\) são os limite inferior e superior respectivamente e \(1-\alpha\) é o coeficiente (ou nível) de confiança para o intervalo.

Para calcular o intervalo de confiança utilizamos a distribuição Normal Padrão ou a t-student, a depender do tamanho da amostra de dados coletada. Caso haja mais de 30 componentes, utilizamos a Normal Padrão, caso contrário devemos usar a t-student.

Cálculo do intervalo de confiânça para a MÉDIA

Para se calcular o IC para a média populaconal, se o desvio padrão conhecido, deve-se:

• 1. Escolher o tamanho da amostra \(n\);
• 2. Escolher o nível de significância \((1-\alpha )\);
• 3. Retirar a amostra e calcular a \(\bar{X}\);
• 4. Calcular o valor do \(Z_{\alpha/2}\) para a partir da tabela \(N(0,1)\), ou métodos computacionais;
• 5. Calcular,

  \[\left (\bar{X}-Z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma }{\sqrt{n}}, \bar{X}+Z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \right )\]

  Caso o \(\sigma\) seja desconhecido ou \(n<30\),

  \[\left (\bar{X}-t_{n-1,\alpha/2}\cdot\frac{s }{\sqrt{n}}, \bar{X}+t_{n-1,\alpha/2}\cdot\frac{s }{\sqrt{n}} \right )\]

Intervalo de confiânça para a PROPORÇÃO

Supondo que \(X\) possui distribuição Binomial (n,p), então:

\[Z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\]

possui distribuição aproximada \(N(0,1)\).

Assim, o Intervalo de Confiança de \(p\) é dado por:

\[\left (\hat{p}-Z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p}+Z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right )\]

Sendo: \(\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\) o desvio padrão da estimativa de \(p\).

Intervalo de confiânça para a DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS

Amostras independentes: \(\sigma_{1}\) e \(\sigma_{2}\) são conhecidos

\[\left ( (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-Z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2} }{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2} }{n_{2}}}, (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})+Z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2} }{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2} }{n_{2}}} \right )\]

Se o intervalo não contém o valor zero, concluímos que há diferença significaiva entre as médias das duas médias

Amostras independentes: \(\sigma_{1}\) e \(\sigma_{2}\) não são conhecidos

\[\left ( (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-t_{\alpha /2, n_{1}+n_{2}-2}\cdot s\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}, (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})+t_{\alpha /2, n_{1}+n_{2}-2}\cdot s\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \right )\]

onde, \[s = \sqrt{\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}\]

Se o intervalo não contém o valor zero, concluímos que há diferença significaiva entre as médias das duas médias

Amostras pareadas ou dependentes

Utilizada em estudo experimentais (Blocagem) ou estudos observacionais (pareamento) de forma a agrupar unidades em pares homogêneos que podem estar relacionados com a resposta de interesse.

Intervalo de Confiança de \(\mu_{d} = \mu_{1} - \mu_{2}\) é dado por:

\[\left ( \bar{d} - t_{\alpha /2, n-1}\cdot \frac{s_{d}}{\sqrt{n}}, \bar{d} + t_{\alpha /2, n-1}\cdot \frac{s_{d}}{\sqrt{n}} \right )\]

onde, \[s_{d} = \sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{n}(d_{i}-\bar{d})^{2}}{n-1}}\]

Intervalo de confiança para a diferença das médias

Estimativa do Tamanho Amostral

Tamanho da amostra para estimar a média

• Para \(\sigma\) conhecido

\[n = \left ( \frac{Z_{\alpha /2} \sigma}{\frac{A}{2}} \right )^{2}\]

• Para \(\sigma\) desconhecido

\[n = \left ( \frac{t_{\alpha /2}s}{\frac{A}{2}} \right )^{2}\]

Passos:

1. Usar uma amostra piloto de tamanho \(n_{1}\)
2. Substituir \(s\) (conhecido ou calculado) na equação acima;
3. Se \(n > n_{1}\) completar a amostra para obter a precição desejada.

Tamanho da amostra para estimar a proporção

\[n = \frac{Z_{\alpha /2}^{2}\cdot p(1-p)}{(\frac{A}{2})^{2}} \]

Passos:

1. Usar uma amostra piloto de tamanho \(n_{1}\)
2. Calcular \(p\) e subistituir na equação acima;
3. Se \(n > n_{1}\) completar a amostra para obter a precição desejada.

Teste de Hipóteses

O teste de hipótese é o método usado para decidir qual das duas proposições contraditórias está correta:

• \(H_{0}\) (Hipótese nula)
• \(H_{1}\) (Hipótese alternativa)

Para se testar as hipóteses utiliza-se testes estatísticos

Erros do teste estatístico

• Tipo de erro

Hipótese	Não rejeita \(H_{0}\)	Rejeita \(H_{0}\)
\(H_{0}\) é Verdadeira	Correta	Erro Tipo II
\(H_{0}\) é Falsa	Erro Tipo I	Correta

• Decisões

Hipótese	Não rejeita \(H_{0}\)	Rejeita \(H_{0}\)
\(H_{0}\) é Verdadeira	Correta	Incorreta
\(H_{0}\) é Falsa	Incorreta	Correta

• Probabilidades

Hipótese	Não rejeita \(H_{0}\)	Rejeita \(H_{0}\)
\(H_{0}\) é Verdadeira	\(1-\alpha\)	\(\beta\)
\(H_{0}\) é Falsa	\(\alpha\)	\(1-\beta\)

Passo a passo

1. Formular as hipóteses estatísticas;
2. Fixar a probabilidade do erro tipo I;
3. Calcular o tamanho da amostra necessária para detectar uma diferênça que se suspeita existente o que é equivalente a fixar a probabilidade do erro tipo II;
4. Apresentar a distribuição de probabilidade da estatística do teste;
5. Estabelecer a(s) região(ões) de rejeição e aceitação (regiões críticas) do teste;
6. Realizar o estudo, ou seja, coletar os dados e calcular a estatística do teste;
7. Confrontar a estatística observada com a região crítica;
8. Tomar a decisão;
9. Elaborar a conclusão.

Teste para a Média

Formulação das Hipóteses :

• Unilateral

  \(H_{0}:\mu = \mu_{0}\)

  \(H_{1}:\mu > \mu_{0}\)

  Representa uma hipótese simples

• Bilateral

  \(H_{0}:\mu = \mu_{0}\)

  \(H_{1}:\mu \neq \mu_{0}\)

  Representa uma hipótese composta

Estatística do teste:

\[Z = \frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\]

\[t = \frac{\bar{X}-\mu }{\frac{s }{\sqrt{n}}}\]

Teste de hipóteses para a diferênça de duas médias

Dado o conjunto abaixo de Amostras aleatórias independentes das populações

• Amostra 1 : \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n_{1}}\)

• Amostra 2 : \(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n_{2}}\)

Formulação das Hipóteses:

• \(H_{0}:\mu_{1} = \mu_{2}\) ou \(\mu_{1} - \mu_{2} = 0\)

• \(H_{A}: \mu_{1} > \mu_{2}\) ou \(\mu_{1} - \mu_{2} > 0\)

Estatística do teste:

\[t = \frac{\bar{x}-\bar{y} }{s\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+ \frac{1}{n_{2}}}}\]

\[s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n_{1}} \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2} +\sum_{i=1}^{n_{2}} \left ( y_{i}-\bar{y} \right )^{2} }{n_{1}-n_{2}-2}}\]

O nível de significância é então calculado como a área à direita do valor \(t\) na distribuição \(t_{n_{1}+n_{2}-2}\). Se a hipótese alternativa é que as médias são diferentes, então o nível de significância é a soma das áreas à direita de \(t\) e à esquerda de \(-t\), ou, de forma equivalente, duas vezes a área à direita de \(t\).

Dado o conjunto abaixo de Amostras pareadas

• Amostra 1 : \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n_{1}}\)

• Amostra 2 : \(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n_{2}}\)

• Diferença : \(d_{1}, d_{2}, ..., d_{n}\)

Formulação das Hipóteses:

• \(H_{0}:\mu_{1} = \mu_{2}\) ou \(\mu_{1} - \mu_{2} = 0\) \(\rightarrow\) \(H_{0}: \mu_{d} = 0\)

• \(H_{A}: \mu_{1} > \mu_{2}\) ou \(\mu_{1} - \mu_{2} > 0\) \(\rightarrow\) \(H_{A}: \mu_{d} > 0\)

Estatística do teste:

\[\frac{\bar{D}}{\frac{s_{D}}{\sqrt{n}}}\]

Sendo,

\(\bar{D} = \frac{\sum_{i=1}^{n}D_{i}}{n}\) e \(s_{D} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( D_{i}-\bar{D} \right )^{2}}{n-1}}\)

O critério \(t\) tem distribuição \(t\)-Student com \((n-1)\) graus de liberdade.

Se a hipótese alternativa é que as médias são diferentes, então o nível de significância é a soma das áreas à direita de \(t\) e à esquerda de \(-t\), ou, de forma equivalente, duas vezes a área à direita de \(t\).

Exercícios

Exemplo 1

É importante que as máscaras usadas pelos bombeiros sejam capazes de resistir a altas temperaturas, pois esses profissionais trabalham com frequência em temperaturas de 90 a 260ºC. Em um teste de um tipo de máscara, 11 dos 55 equipamentos tiveram as lentes estouradas a 120ºC. Construa o IC de 95% para a proporção real de máscaras desse tipo, cujas lentes estourariam a 120ºC.

• Resolução:

n = 55
alfa = 0.05
p = 11/55
Z = 1.96 # Tabela Z (Anexo I)
icminimo <- p - Z*sqrt((p*(1-p))/n)
icmaximo <- p + Z*sqrt((p*(1-p))/n)
IC <-c(icminimo, icmaximo)

Probabilidade:

print(p)

## [1] 0.2

Intervalo de Confiança:

print(IC)

## [1] 0.09428546 0.30571454

O que podemos inferir?

---

Exemplo 2

Duas máquinas são usadas para envasar água destilada que é utilizada em um laboratório. O desvio padrão do volume envasado pela máquina 1 é conhecido e igual a 0,01 L e o da máquina 2 é 0,015 L.

Uma amostra de \(n_{1}\) = 25 pacotes da máquina 1 e \(n_{2}\) = 20 pacotes da máquina 2 é retirada e o volume de cada pacote é medido encontrando-se médias de 1,04 e 1,07 para as máquinas 1 e 2, respectivamente.

Verifique, com base nas medidas realizadas, se as máquinas estão calibradas de forma diferente, ou seja, se o volume médio da máquina 1 é igual ao volume médio da máquina 2. (IC 95%, \(Z_{0,025}\) = 1,96)

• Resolução:

desv1 = 0.010
desv2 = 0.015

n1 = 25
n2 = 20

media1 = 1.04
media2 = 1.07

Z = 1.96 #IC de 95% - Tabela Z (Anexo I)

icminimo = media1 - media2 - Z*(sqrt((desv1^2/n1 + desv2^2/n2)))
icmaximo = media1 - media2 + Z*(sqrt((desv1^2/n1 + desv2^2/n2)))
IC <- c(icminimo, icmaximo)

Intervalo de confiança para a diferença das médias

print(IC)

## [1] -0.03765404 -0.02234596

O que podemos inferir?

---

Exemplo 3

Em um posto agrícola, desejou-se testar o efeito de certo fertilizante na produção de trigo. Foram então escolhidos 24 tratos de terreno de áreas iguais, metade dos quais foi tratado com o fertilizante, e a outra não. Todas as outras condições foram mantidas iguais. A produção média de trigo nos tratos sem fertilizantes foi de 4,8 sacas, com desvio padrão 0,4, enquanto a dos canteiros tratados foi de 5,1 sacas com o desvio padrão de 0,36. Pode concluir que há um aumento significativo da produção de trigo por causa do fertilizante, se forem adotados os níveis de significância:

• 1. 1%;
• 2. 10%.

n = 24
n1 = 12
n2 = 12

media1 = 4.8
desv1 = 0.4

media2 = 5.1
desv = 0.36

Z1 = 3.09 #Para IC 99%
Z2 = 1.65 #Para IC 90%

Intervalo de confiança de 99%

icminimo = media1 - media2 - Z1*(sqrt((desv1^2/n1 + desv2^2/n2)))
icmaximo = media1 - media2 + Z1*(sqrt((desv1^2/n1 + desv2^2/n2)))
IC <- c(icminimo, icmaximo)
print(IC)

## [1] -0.65705325  0.05705325

Intervalo de confiança de 90%

icminimo = media1 - media2 - Z2*(sqrt((desv1^2/n1 + desv2^2/n2)))
icmaximo = media1 - media2 + Z2*(sqrt((desv1^2/n1 + desv2^2/n2)))
IC <- c(icminimo, icmaximo)
print(IC)

## [1] -0.4906595 -0.1093405

O que podemos inferir?

---

Exemplo 4

A fim de testar a ocorrência de estratificação num certo arenito, amostras foram coletadas na base e no topo de 7 estratos desse arenito. Aplicando-se o teste-\(t\) verificar se as diferenças entre o tamanho médio das partículas da base e do topo são significativas ou não.

Estratos	base	topo	d = t-b
1	2,81	3,12	0,32
2	3,95	4,13	0,18
3	3,75	3,88	0,13
4	2,68	2,91	0,23
5	3,25	3,65	0,36
6	3,90	4,20	0,30
7	3,30	3,12	-0,18

Utilizando a função nativa do R (t.test):

base <- c(2.81, 3.95, 3.75, 2.68, 3.25, 3.90, 3.30)
topo <- c(3.12, 4.13, 3.88, 2.91, 3.65, 4.20, 3.12)
d <- c(0.32, 0.18, 0.13, 0.23, 0.36, 0.30, -0.18)
t.test(d)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  d
## t = 2.7735, df = 6, p-value = 0.03227
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.02253943 0.36031771
## sample estimates:
## mean of x 
## 0.1914286

O que podemos inferir?

---

Exemplo 5

Foram feitas vinte medidas do tempo total gasto para a precipitação de um sal, em segundos, num dado experimento, obtendo-se:

Dados: 13, 15, 12, 14, 17, 15, 16, 15, 14, 16, 17, 14, 16, 15, 15, 13, 14, 15, 16, 15

Pergunta-se se esses dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto na precipitação com precisão de meio segundo e 95% de confiança. Caso negativo, qual o tamanho da amostra adicional necessária?

dados <- c(13, 15, 12, 14, 17, 15, 16, 15, 14, 16, 17, 14, 16, 15, 15, 13, 14, 15, 16, 15)

n1 = length(dados)
desv = sd(dados)
Precisao = 0.5
t = 2.093 #IC 95% - Anexo II - tabela t-Student
n = (t*desv/(Precisao))

Quantidade de dados coletados:

print(n1)

## [1] 20

Quantidade de dados calculados (Tamanho Amostral)

print(n)

## [1] 5.478957

O que podemos inferir?

---

Exemplo 6

Deseja-se estimar a resistência média de certo tipo de peça com precisão de 2kg e 95% de confiança. Desconhecendo-se a variabilidade dessa resistência, roperam-se cinco peças, obtendo-se para elas os seguintes valores de sua resistência (em kg): 50, 58, 52, 49, 55. Com base no resultado obtido, determinou-se que deveriam ser rompidas mais quinze peças, a fim de se conseguir o resultado desejado. Qual sua opinião a respeito dessa conclusão?

dados <- c(50, 58, 52, 49, 55)
Precisao = 2
t = 2.093 #IC 95% - Anexo II - tabela t-Student
media = mean(dados)
desv = sd(dados)
n = (t*desv/Precisao)^2

Tamanho Amostral

print(n)

## [1] 15.00372

O que podemos inferir?

---

Exemplo 7

Deseja-se testar a resistência ao impacto de um determinado componente de carro. Uma amostra de tamanho 37 foi submetida a um teste impacto, sendo que 24 destes apresentaram defeito. Que tamanho de amostra seria necessário para uma amplitude de IC de 99% ser no máximo 0,10?

Amplitude = 0.10
Z = 1.96 #IC 95% - Anexo I - Tabelna Normal Padronizada
p = 24/37

n = (Z^2*p*(1-p))/(Amplitude)^2

Tamanho Amostral calculado

print(n)

## [1] 87.55144

O que podemos inferir?

---

Sugestões de Bibliografia

• Berthouex P. M., Brown L. C. (2002). Statistics for Environmental Engineers, Lewis Publishers, 2a edição.

• Devore, J. L. (2006). Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Editora Thomson, 6a edição.

• Hines, W.W., Montgomery, D.C., Goldsman, D. M., Borror, C. M. (2006). Probabilidade e Estatística na Engenharia. Editora LTC, 4ª edição.

• Lapponi, J. C. (2005). Estatística usando Excel, Editora Campos, 4a edição.

• Montgomery D. C., Runger G. C. (2003). Applied Statistics and Probabilities for Engineers. John Wiley & Sons, 3a edição.

• Webter, A.L. (2006). Estatística Aplicada à Administração e Economia. Editora McGraw-Hill.

Anexo I - Tabela Z - Normal Padronizada

Anexo II - Tabela t-Student