Los resultados de una prueba se distribuyen normalmente con media 80 y desviación estándar de 6.
mu = 80
sigma = 6
(a) Qué porcentaje de los resultados está:
(i) Por encima de 70, X > 70.
SOLUCIÓN: El valor de z:
(z = (70 - mu)/sigma)
## [1] -1.667
(Ver figura) z = -1.66, se encuentra entre -2σ y -1σ respecto a la media mu, (es decir
entre z = -2.0 y z = -1.0) a su vez correspondientes a porcentajes respectivamente
entre 2.3% y 15.9% del porcentaje acumulado, por lo que el valor correcto se encontrará
entre estos dos valores.
En las tablas, el valor de z = -1.66 corresponde a la probabilidad (Cumulative Standard
Normal Distribution ) de 0.04845 abarcando todos aquellos valores que se encuentran
abajo de X = 70.
Area de los menores a 70 = 0.0485
Por esto, el porcentaje de los resultados que se encuentran por arriba de 70 es:
[Porcentaje X > 70] = [Area total – Area de los menores a 70] =
(1 - 0.0485) ##(En porcentaje multiplicar por 100)
## [1] 0.9515
Porcentaje de X | [X > 70] = 95.15%
(ii) Qué porcentaje de los resultados está entre 70 y 80.
SOLUCIÓN:
Otra forma de calcular el área en cuestión es restar el área hasta 80 menos la de 70;
en R el comando 'pnorm(X, mean, sd)' calcula el área hasta X, sin necesidad de
transformar X a Z, por lo que:
Area = pnorm(80, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(70, mean = mu, sd = sigma)
(Area)
## [1] 0.4522
Area entre 70 y 80: 45.22%
(iii) Qué porcentaje entre 1.25 y 2.1 desviaciones estándar por encima de la media:
SOLUCIÓN:
En R, este porcentaje (en área normalizada) se calcula así:
Area = pnorm(2.1, mean = 0, sd = 1) - pnorm(1.25, mean = 0, sd = 1)
(Area)
## [1] 0.08779
Area entre 1.25 y 2.1 desviaciones estándar por encima de mu: 8.7 %
(b) A partir de qué calificación se define el percentil 90?
SOLUCIÓN:
El percentil 90 corresponde al 90% acumulado de la probabilidad en la curva de la
distribución Normal estándar (Cumulative Standard Normal Distribution ).
El percentil, es el valor de una variable abajo de la cual un cierto porcentaje
de las observaciones caen (90% en nuestro caso).
El percentil 90 corresponde entonces (según tablas) a un valor de
z = 1.28
Procedemos a calcular la calificación X a partir del valor obtenido de z:
mu = 80
sigma = 6
(X = z * sigma + mu)
## [1] 87.68
esto indica que X = 87.68.
X | [percentil = 90]= 87.68 de calificación.
La gráfica muestra todos aquellos valores que caen abajo del percentil 90 equivalente
a X = 87.68.
(c) Cuál es al probabilidad de que un individuo obtenga calificación mayor de 9?
SOLUCIÓN:
Como se observa del ejercicio anterior, el percentil 90 no corresponde al 9.0 de
calificación por lo que no son lo mismo. El 9.0 de calificación corresponde al valor
de z siguiente:
z | [X = 9.0] = (X - mu)/sigma = (90 – 80)/6 = 10/6 = 1.66
Es decir, la probabilidad de que un individuo obtenga una calificación mayor a 9.0 es
la probabilidad de que el valor z correspondiente sea mayor a 1.66. Este valor (según
tablas) es 0.9515, por lo que la probabilidad buscada es:
P | [X > 90] = (1- 0.9515) = 4.85 %
(d) Si está establecido que sólo el 30% de las calificaciones máximas pueden proceder
al segundo curso, a partir de qué calificación se puede ejercer este derecho?
SOLUCIÓN. El valor de X corresponde al 70% de la probabilidad acumulada (Cumulative
Standard Normal Distribution ) es según tablas el correspondiente a:
z = 0.53; (según R es 0.5244)
Con este valor de z, se puede obtener el valor de la calificación X que le corresponde:
(X -mean)/sigma = (X – 80)/6 = 0.53; En R: 83.1464
Por lo que X = 83.14
Es decir, que a partir de 8.31 de calificación en la escala de 0 a 10 se puede tener acceso al segundo curso.
X | [X es la primera calificación alta] = 83.1
