Laboration 1

Spelet Keno

Spelet Keno går till så här:

Totalt finns 70 nummer (1-70) att välja på. Svenska Spel kommer att dra 20 nummer av dessa. Den som spelar ska (i förväg) försöka pricka in så många av dessa 20 som möjligt. Spelaren kan välja att totalt gissa mellan 1 och 11 nummer. Väljer hen att gissa bara på ett nummer så kallas det Keno 1, gissar hen på två nummer kallas det för Keno 2, och så vidare. Denna laboration handlar om Keno 11, det vill säga spelaren väljer 11 nummer och hoppas att Svenska Spel ska dra så många av dem som möjligt bland de 20 nummer de drar.

Uppgift 1

Ifall man spelar Keno 11 ges formeln för sannolikheten att man har fått \(k\) antal rätt av en hypergeometrisk fördelning:

\[P(X=k)=\frac{\binom{20}{k}\binom{50}{11-k}}{\binom{70}{11}}. \]

\(\binom{20}{k}\binom{50}{11-k}\) är antalet kombinationer då man gissat på 11 nummer, och av dessa så har \(k\) varit rätt. Detta divideras med antalet möjliga utfall då man dragit 20 nummer utav 70 möjliga för att få fram sannolikheten att ha \(k\) antal rätt.

Koden för att beräkna detta ges av

K <- 11 # Eftersom att vi spelar Keno 11
p <- rep(0, K + 1) #En vektor som kommer tilldelas sannolikheterna för 0, 1, ..., K antal rätt. Detta betyder  att p[1] ger sannolikheten för 0 rätt så p[K+1] ger sannolikheten för K (i detta fall 11) rätt.
for (k in 0:K) {
  p[k+1] <- choose(20,k)*choose(50,11-k)/choose(70,11) # p[k+1] är alltså sannolikheten att få k rätt
}

(Bör jag returnera sannolikheterna? Fult)

Tillsammans måste alla sannolikheter summeras till 1 (eller godtyckligt nära då en begränsad precision i avrundningar kan ge små felvärden), och därför testas detta:

abs(sum(p) - 1)  < 10^(-8)

## [1] TRUE

Stämmer….

Uppgift 2

Fördelningen över sannolikheten åskådliggörs i följande stapeldiagram:

Diagram 1: Fördelning över sannolikheten.

Störst sannolikhet är det… Väntevärde… Varians… Standaravvikelse…?

Uppgift 3

I vinstplanen på Svenska Spels hemsida för Keno 11 återfinns följande tabell:

Antal rätt	Vinst (kr)
0	0
1	0
2	0
3	0
4	0
5	5
6	10
7	30
8	300
9	3 000
10	125 000
11	5 000 000

Tabell 1: Vinstplan för Keno 11.

Chansen att överhuvudtaget vinna någonting är om man har fem eller fler rätt. Vinstsannolikheten för detta ges av att man summerar sannolikheterna för dessa händelser.

\(\sum_{k=5}^{11} \frac{\binom{20}{k}\binom{50}{11-k}}{\binom{70}{11}}\) .

I kod ges detta av:

vinstsannolikhet <- sum(p[6:(K+1)]) 

Detta ger att vår vinstsannolikhet är 0.161. Vinstsannolikheten enligt svenska spel är 0.161. Dessa två värden stämmer överens vilket betyder att den vinstsannolikhet Svenska spel uppger är mycket trolig.

Källor:

Svenska spel. (2014). Keno och kung keno URL: https://cdn2.svenskaspel.net/cms/documents/ac9bbdd4-298f-4c81-8d5a-e85bcb167613/1.3/spelregler-keno-kung-keno-140602.pdf

Hämtdatum: 2016-01-30